一个线性代数问题〔完美解决，附带一个性质总结〕

jcsxky

可以相似，任何一个矩阵都相似于它的若尔当标准型。。。
我的解答是这样的：由A*x=0得到0至少为A*的n-1重特征值，而A*的特征值全为0，所以A*的对角线元素的和为0，又A*的秩为1，A*可以写成（a1,a2,...,an）的转置*（b1,...,bn）,由Ax=0,A 的秩为n-1，所以解向量都是A*的列向量的倍数，所以A*x=（a1,a2,...,an）的转置*（b1,...,bn）*k*（a1,a2,...,an）的转置,而A*的对角线元素的和为0，所以a1*b1+...+an*bn=0,此时有A*x=0,结论得证！

scl1989

佩服，多谢兄弟把解题的过程简单化和更容易理解了。一直想拿A*乘以A*的列向量得0证明，可是就是不明白特征值全为0得用处，原来把A*利用秩写成列乘以行，利用对角线和为0，完美利用条件，又更容易理解了。

scl1989

我解释下，其实只从R(A*)=1,就可以判断A*至少有n-1重0特征值，它的意思这样A*A=0，所以A所有向量都是A*的解A中无关向量个数是n-1,这样A*对应0的特征向量至少就是n-1,n的0特征值至少是n-1重，这个不影响
2，A的秩n-1,对应0特征值的特征向量就相关性来说是1个，AA*=0,而A*不是0，所以A*中必有Ax=0的非0特征向量，所以说x是A*某列向量的倍数，而其实r(A*)=1,可以说明A*的列向量是成比例的，这样说就不为过，况且假设(a1,a2……)转置不能为0，而(b1,b2……)就是一个一个的倍数，不全为0

sdc2010

明白了，AA*=0！谢了。

sdc2010

jcsxky 的证法真不错，开辟了一种新思路！ 在各位战友帮助下，总算搞清楚了，多谢各位。

taler123

同意

shydesky

注：
①（A*）代表A的伴随矩阵
②一些常识性结论一句带过 （如r（A）=n-1则A特征值为0对应一个线性无关的特征向量）
证明如下：
令X为A的特征值为0的特征向量即AX=0（X≠0）
有A（A*）X=（A*）AX=0
假设（A*）X≠0 则（A*）X也是A的关于特征值为0的特征向量
又0对应的线性无关的特征向量为n-r（A）=1个
故（A*）X ，X线性相关 即存在k≠0使得（A*）X=kX 所以（A*）存在非零特征值k与题意矛盾。因此假设（A*）X≠0不成立。故（A*）X=0 原题得证

scl1989

嗯，嗯，反证法真不错，谢谢兄弟思路，真是眼界越来越开阔了

dabuou

错，矩阵A与一个非零矩阵的乘积可以是一个零矩阵

rain19881231

用不到特征相量