一个线性代数问题〔完美解决，附带一个性质总结〕

kanzo

scl1989

能不能给个幂零矩阵证法的简单思路:特征值都为0的矩阵B,有n,B^n=0
实在不会证

沙漠狂鹰

A*k=0 是不是这样证得 因为A*的特征值全为零 所以P-1A*P=[00000] 所以P-1A*kP=[00000] 所以A*K=P[00000]P-1=0 这里[00000] 表示对角线为零的零矩阵。。。

[ 本帖最后由 沙漠狂鹰 于 2010-11-5 13:36 编辑 ]

沙漠狂鹰

但是它的非零解不是B=A*x,而是由B等于一个与A*x无关的向量构成的

这句话没看懂 根据AX=0 左乘A* 推出A*Ax=0 令B=A*X 这里的X不就是题目条件中的X了吗 为什么你说是B等于一个与A*X无关的向量？？？？

scl1989

是，B是A*x,但是完全有一种可能是保证A*x=0(我的例子和kan zo兄弟的证明足够说明A*x是只能等于0的，完全可以把你说的B也可能为0否定),你非得说AB=0中B可以非零，我不就只能说这种情况下B它不是A*x了吗？

[ 本帖最后由 scl1989 于 2010-11-5 14:42 编辑 ]

scl1989

你的意思是A*可以相似于0矩阵？可是A*是不能对角话的，应该说A*相似一个主对角全为0的上三角型矩阵，但是不能为0，这样理解的吧！这样某种意义下可以说通，但不太理解

scl1989

题目差不多算是解决了，101楼的答案，多谢楼上所有友友的回答，我来下个总结吧。不止针对这个题目的总结，是个关于A的特征向量和A*特征向量的的关系。
1。当A可逆时特征值r不为0
Ax=rx
A*Ax=A*rx
|A|Ex=A*rx
A*x=|A|/r *x
所以A的特征向量必然是A*的特征向量
2。若|A|=0
分两种情况r(A)=n-1和r(A)<n-1
根据矩阵和伴随矩阵秩的关系①，r(A)<n-1时r(A*)=0，A*为0矩阵，A的特征向量必然是A*的
②，r(A)=n-1时，r(A*)=1
A*至少n-1重0特征值，A至少有1重0特征值
还有一条性质就是R=A11+A22……+Ann=r2*r3……*rn
R发表A*那个剩下可能非0特征值，r1就是A的0特征值
意思是A*的剩下一个可能非零特征值等于A*对角线元素和等于A的那个除了一个0特征值以外其他特征值的积。这个性质左边很好理解，右边利用A的特征多项式的特征和rE-A的关系得到
，不详述，根据这个性质如果A只有一个0特征值，A*必须有一个非零特征值。如果A多重0特征值，A*特征值全部为0。
由上述可得有两种情况
①A有1个0特征值，对于不为0的特征值，同样A*x=|A|/r *x,A的所有不为0对应的特征向量都是A*对应0的特征向量
对于A剩下0这个特征值，反过来利用A*的一个非零特征值性质可以知道A的0特征值对应特征向量正好是A*非0特征值的特征向量。
②最后一种情况A*所有特征值为0，0是A的多重根，假如还有非零特征值按上述对应特征向量必定是A*对应0的特征向量，对于A的多重零特征值由于秩n-1,只有一个特征向量，就是这个题目所要问的了。同样由kanzo兄弟证明出来了。
大结论：n阶矩阵A的特征向量必然是A*的特征向量。
反过来不保证成立

scl1989

1，矩阵|rE-A|=(r-r1)(r-r2)……(r-rn)
右边r的一次方系数是(-1)^(n-1)
(r2*r3*r4……rn+r1*r3……rn+……r1*r2……rn-1)
你把左边行列式写出来，细细观察下利用行列式的原始定义找到r的一次方的系数，其实就是除去aii的行和列后其余n-1阶矩阵的行列式乘以(-1)^(n-1)的所有和，也就是相当于(A11+A22……Ann)*(-1)^(n-1),拿笔自己写写看
这样A11+A22……Ann=r2*r3*r4……rn+r1*r3……rn+……r1*r2……rn-1,后者是去处一个特征值后其他特征值的成立，一共有n项，而我们知道必然有一个特征值为0〔当然可能不止一个〕，这样就留下了去掉0特征值的特征值乘积了

scl1989

2
A*x=Rx
R不为0
AA*x=ARx
Ax=|A|x/R=0=0x
所以我说对应A*不为0特征值的特征向量是A对应特征值0的特征向量

amaogg

我记大结论算了。。