一个线性代数问题〔完美解决，附带一个性质总结〕

scl1989

3，也就是这个题目的证明了
101楼给的步骤你看下A*^k=0
A*^(k-1)不为0
AA*^(k-1)=0对吧
说明A*^(k-1)中某个不为0的向量是Ax=0的非零解
而A*A*^(k-1)=A*^k=0
同样这个非零解即对应A的0特征值的向量也是A*对应0的特征向量。结论成立

sdc2010

唉，还是不太理解
1、也就是相当于(A11+A22……Ann)*(-1)^(n-1)
3、A*^k=0   ？
A*^(k-1)不为0    ？

scl1989

第一个你就仔细观察行列式找到r的系数再联想A*的对角线，说不明白。提醒下你仔细看看rE-A这个行列式得对角线想办法找r得一次方系数比如
r-a11  -a12  -a13
-a21   r-a22  -a23
-a31     -a32   r-a33
r得一次方只能从对角线找
第一行选r-a11
去掉第一行第一列
剩下得
r-a22  -a23
-a32   r-a33
这样在里面找没有r的
是不是就是A11*(-1)^2
同理A22也是这样来的，你看看能不能理解，扩展到n阶

第二个应该有个性质如果一个矩阵B所有的特征值都是0，那么一定存在k使得,B得k次方为0矩阵，而k-1是不为0得，这个我不会证，但有这个性质吧

[ 本帖最后由 scl1989 于 2010-11-5 17:09 编辑 ]

sdc2010

基本明白了，但是有个地方还是不太懂
剩下得
r-a22  -a23
-a32   r-a33
这样在里面找没有r的
第一行和第一列不能再出元素了，要从这个行列式里找对吧，那找不含r的为什么是求这个行列式的值？不知道你能不能听懂？

kanzo

呵呵  120楼的哥们总结的相当好

sdc2010

相当于按某行或某列展开对吗？然后分别计算含r的一次方的，然后相加对不？

scl1989

你问的是为什么不含r的项要从行列式找，还是不含r的项是
-a22 -a23
-a32 -a33
？
前者回答就是
行列式的值就可以按行抽取，我第一行抽了第一个，然后去掉行列，剩下4个元素的行列式，自然是对这个行列求值，
这样构成行列式的完整一项，第二个，你想求这个行列式中不含r的项怎么办呢，就是含r的项全部抛弃，怎样抛弃呢，另r为0不就抛弃了，r为0带入剩下的就是不含r的项了

sdc2010

又有点蒙

r-a22  -a23
-a32   r-a33
这样在里面找没有r的

带r的一次方的为什么不找？它乘以（ r-a11）中的a11不也是r的一次方么

scl1989

其实我只是说了一种，如果你对对角阵的每个元素都求，你会发现再按你的思路就重复了，我是充分考虑这个的，你说的在下面计算中会都考虑在内的

scl1989

因为A*的秩是1和A*全部特征值都是0可以说明A*是不可以对角话的
因为这里的k是保证A*k为0的最小值，所以A*^(k-1)可以不为0的，了关于A*存在k，A*k=0，不会证。