全书中等价无穷小替换问题，进来看啊（版主推荐技术帖）

shufehw

你可以换个方法嘛

狼球

其实……看了各位的解答，收获颇多，但我还是忍不住想说一句，光就楼主问的题来说，三角函数2倍角公式直接秒杀，无理解困难。

18页1.24（2）的那题，主要步骤都是通分去根号，如果说有疑问，说x趋于0，(sin²x/x²)=1处，那个不是等价无穷小，那个是两个

特殊极限之一，是用夹逼定理导出的。

17页1.23（1）那题(1-cosx)/x²，如果理解为1-cosx--1/2*x²，那么就是等价无穷小，就是上面各位讨论的情况了，但是我们忘记了三角函

数二倍角

公式，
cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x,所以1-cos2x=2sin²x,将2x替换成x,就是1-cosx=2sin²(x/2),这时候，就用到上面说的那个特殊极限了，
(1-cosx)/x²=[2sin²(x/2)]/[4(x/2)²]=1/2.


另外，四则运算的说法，实际上理解起来就是：局部是相乘除的关系，故可用无穷小（关键是在那个局部，（1-cosx）或者其他的，得是整

体，）。还有前面有几位同学说用泰勒公式理解，我也很喜欢。

07508009

楼主看看全书第4页的定理1.9第一目，
,
这个题目分子分母极限都存在，所以可以用四则运算法则进行运算
或者用泰勒公式更加精确：分母部分
接下来大家都能明白了吧~

wh6202612

其实就是个带入什么都不是


至于上面他们说的什么精确度是什么的根本不是这道题

weeklyqaz

根本原因在于，当两个无穷小相加时，是否能替换或将其中一方略去取决于，这两个无穷小是否同阶，同阶时则加罚中不能运用无穷小等价替换（因为两者地位同等，替换会造成很大误差，使结果错误），当两者不是同阶无穷小时则可在加法中替换

1.这也就是灯哥的那个取大头，和取小头的口诀的理论基础

2.从在哲学观点看，这体现了把握事物主要矛盾的思想，

如分母是一个2阶无穷小+3阶无穷小，显然可将3阶无穷小直接划去不看（为次要矛盾），而分子虽然是一个很复杂的式子，但猜都猜到了分子化简后一定是一个2阶无穷小，否则，结果只能是0（eg：分子为3阶无穷小），或结果是无穷大（如：分子为一阶无穷小）

3.希望大家做题时能从无穷小的阶数去思考，在模拟试题中会遇到这样的选择题。

soyspring

极限都存在，用4则运算，每项求lim就出来了，我想是这样的。

gxt200701469

当对加减利用等价无穷小原式变为变为0时才不能用，因为这时忽略了高阶项，如当分母为x-sinx时，就不可用了因为sinx~x(x趋于0时）但sinx不等于x，所以x-sinx不为0而应趋于0所以不能直接换sinx，此处就可用泰勒公式展开。此处就不能用分母同时除以x变成1-sinx/x 再用等价替换。这类题一般用罗必达或者用泰勒展开。泰勒公式可以反映本质的东西，其实罗必达可以说是由泰勒推导而来，而等价替换也可用泰勒反映。

结构大当家

这个用到泰勒公式啊  你去把三角函数的泰勒公式看下 应该能够理解这样做的原因 从旁边几个题型可以看出 这个知识点就是要训练你的泰勒那一个章节的！！！

lanlandecao

做这种题目压根不用用到什么无穷小，你要知道无穷小的来源（泰勒展开式），你就把那个不知道能不能替换的用泰勒展开一下，展开多少位自己体会，然后约去一些，剩下的一无穷正好就是0，这样什么时候都不会出错！

沉心2

感性点好了！