全书中等价无穷小替换问题，进来看啊（版主推荐技术帖）

风晨贝贝

lionman 发表于 2011-8-7 22:02
在求极限的过程中有个原则当年有个辅导班的老师称之为“能求则求，能带则带”用比较正规的语言表述 ...

我说的有理化是指他提的全书上的另外一题的原因

常晨曦

这就是最纯正的利用极限的四则运算法则

皇家粥少

lz 这个既用了 极限运算法则 又用了等价无穷小   个人认为  一般人不要这么用比较好容易出错

你把最后一步扩充一下    把整个式子取一个倒数     再用加法 拆开   因为两个极限存在 所以可以拆， 就变成1/2+1   最后在把倒数取回来

记得最后乘个2


倒数的极限存在 那么这个极限也肯定存在   因为它不是等于零


个人认为 等价无穷小优先考虑 然后看看 极限四则运算  或者 能带数值的，比如两个乘积等

最后不行了再用罗比达   罗比达虽然好用 但是很容易出错   最后是答案对   步骤不对  因为  一个函数的导数不一定连续 所以最后的极限娶不着。

斯图里奇

极限的四则运算

虎头啊

21楼说的很对。前边几楼最好别相信，容易出错。

zyl6869

我半年多没看高数了，但是依稀记得去年暑假上辅导班时，老师说的是，只要等价无穷小替换后结果不为零，都可替换的。但是我在做题的时候也遇到过符合此条件结果却不正确的情况。。。。。。

baicunxian2010

你是要想知道二者的区分吧。这种情况下，分母部分的两项是确定的值。不能随便在加减法中代替的原因是二者取等价无穷小后的趋近程度是不同的。贸然加减会造成错误。这个理解必须从泰勒公式入手，那是等价无穷小代替的理论根源。

aiai_andy

呵呵，前面已经说过了，要把极限四则运算条件的前提和等价无穷小代换的条件结合起来，这样可以方便化简，能算则算，能代则带。

SH_cowboy

看了4页所有的回答~眼花了。。什么条件什么的~建议楼主看课本，仔细把高数上第57页到58页多啃两遍，看看书上所说的等价无穷小的充要条件你就知道了；其实是b=a+o(a){o(a)是比a高阶的无穷小}这时b~a。
举例：（x-0）lim(sinx-tanx)/x^3             sinx=x+o1(x)     tanx=x+o2(x)      sinx-tanx=o1(x)-o2(x)=o(x)   {o1(x),o2(x),o3(x)都是x的高阶无穷小）因为两者相减吧已知的部分抵消掉了，剩下的部分是o(x)是一个未知阶数的无穷小（知道到它比x高阶！）可能是x^2的等价无穷小，这时极限为无穷大，也可能是x^3的等价无穷小，这时的极限为常数，如果是x^4的等价无穷小，那极限就是0.所以当加减变换把已知部分抵消掉的时候不能用等价无穷小代换。
还有比较特殊的情况，比如说（x-0）lim(sinx-tanx)/x这是等价无穷小代换得o(x)/x,因为o(x)是x的高阶无穷小，所以极限是0。总的来说就是不能肯定的时候代换时一定记得加上高阶无穷小项！这样的话，楼主发的题为什么可以在分母里用等价无穷小代换我想也不用解释了吧（个人见解，有不对请指正）

hanneke

无穷小替换方法  是一种解题技巧  不是严格的推导  用定义是最精确的

无穷小替换加法不能随便用    不是说绝对不能用   但是不管怎么说  是投机取巧的

   典型的不能用的   比如  无穷大 -  无穷大   不能理解为是0  这样几乎肯定出错

  这个题因为是常数  所以他就用了 也对了    也可能是巧合

  所以除了几个常见的无穷小 相乘相除  还是应该尽量少用

   泰勒级数展开是个不错的办法