【常见问题】二次型矩阵

elliott

原帖由 zsu_yingxiong 于 2009-12-28 13:23 发表
刚看完,跟你想法一样,想算算验证下,答案就明了!
这里有个这样的看法：
凡用相似的方法去求标准型的只能是正交变换了。 这句话不确定对不对？很难去验证的？ 目前只能是认为“相似正交变换可以将矩阵变为对角矩阵（而且是特征 ...

唉……，各位，这句话是错的，非常的错！！！！！！谁说的凡用相似的方法去求标准型的只能是正交变换？？！！！错，奇错无比！！！！！！！

elliott

各位，这题是对的。谁还有疑问，*，如果我说错了，我三天不吃饭，行了吧？？？？？*

dufehaha

原帖由 zsu_yingxiong 于 2009-12-28 13:23 发表
刚看完,跟你想法一样,想算算验证下,答案就明了!
这里有个这样的看法：
凡用相似的方法去求标准型的只能是正交变换了。 这句话不确定对不对？很难去验证的？ 目前只能是认为“相似正交变换可以将矩阵变为对角矩阵（而且是特征 ...

这句话是正确的。
      因为相似变换是用一个可逆矩阵和它的逆矩阵左右分别乘原二次型矩阵得到对角阵，
而化二次型为标准型是用一个可逆矩阵和它的转置左右分别乘原二次型矩阵，得到的必须是同一个对角阵。
要保证这两种变换用的是同一个可逆矩阵（以及它的逆或转置）去乘原二次型矩阵，只能要求这个可逆矩阵的逆矩阵等于它的转置，这样的矩阵必然是正交矩阵。

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-28 13:43 编辑 ]

391349683

说的好，支持！[em:18]

gaoran0623

原帖由 elliott 于 2009-12-28 13:27 发表

大哥，谁告诉你的规范型一定系数都是相等的？！！！只要经过正确的合同变换，正负惯性指数相同就正确！！！

你说的跟我没关系啊，我从头到尾没“规范型”这三个字

gaoran0623

原帖由 elliott 于 2009-12-28 13:33 发表
各位，这题是对的。谁还有疑问，Q我，如果我说错了，我三天不吃饭，行了吧？？？？？472732829

这题的规范型当然是对的，但是所用的C确实是错的

你用两种方法算，一种不对P1正交化（算y的系数矩阵不要学永乐帝偷懒），一种对P1正交化（也不是太麻烦），我保证最后C的结果是一样的，而且跟这个答案中的C不一样

[ 本帖最后由 gaoran0623 于 2009-12-28 18:00 编辑 ]

zsu_yingxiong

原帖由 gaoran0623 于 2009-12-28 17:55 发表


这题的规范型当然是对的，但是所用的C确实是错的

你用两种方法算，一种不对P1正交化（算y的系数矩阵不要学永乐帝偷懒），一种对P1正交化（也不是太麻烦），我保证最后C的结果是一样的，而且跟这个答案中的C不一样 ...

你说得对，我用C（T）AC  算了一下，
结果是 12  0  2
              0  2  0
              0  0  3
明显不是对角矩阵（最好有人再算一遍）
因为其中P2 应该是
        1     0               0
                   sqrt(8)        0
              0         0          sqrt(27)

才对。

zsu_yingxiong

原帖由 elliott 于 2009-12-28 13:30 发表

唉……，各位，这句话是错的，非常的错！！！！！！谁说的凡用相似的方法去求标准型的只能是正交变换？？！！！错，奇错无比！！！！！！！

唉……，各位，这句话是错的，非常的错！！！！！！  这是对的，题中P1 就说明了这句话是错的。

zsu_yingxiong

原帖由 dufehaha 于 2009-12-28 13:36 发表


这句话是正确的。
      因为相似变换是用一个可逆矩阵和它的逆矩阵左右分别乘原二次型矩阵得到对角阵，
而化二次型为标准型是用一个可逆矩阵和它的转置左右分别乘原二次型矩阵，得到的必须是同一个对角阵。
要保证这 ...

楼主,自己也跑去看了下同济教材。觉得这里貌似还有点不对。因为没人规定相似变化和合同变化的两个对角阵是否一定相等（是可以不相等的）
还引申出另一个问题。
从矩阵A通过相似变化（抑或合同）变到矩阵B， 变化矩阵P是否唯一还很难说。以同济版的教材而言，并没有深入到这一步，教材只是说可以通过这样变换得到结果。
另外，多谢楼主挑出这道题而且这么热心的讨论，数学本来就是要对概念深刻理解基础上才能吃透的。

elliott

原帖由 gaoran0623 于 2009-12-28 17:45 发表



你说的跟我没关系啊，我从头到尾没“规范型”这三个字

我说错了，是标准型！！！
拜托各位大哥们！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！标准型不是唯一的，拜托大哥们好好看看书行么？？？？？！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
请别在这忽悠别人了……@！！！！！！！！！！
只要按照正规的合同变换，最后和对角阵合同的标准型就是正确的！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
标准型不唯一！！！！！！！！！！
其实规范型就是标准型的特殊情况，难道规范型的系数都得和对角阵Λ的每一个λ相等么？？？？？？但是规范型系数的绝对值都是1！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
再说的明白点就是，任何二次型的标准型的系数阵，都是跟规范型系数阵合同的！！！！！！只要满足这个条件都是合同变换！！！！！也就是所谓的惯性定理！！！