【常见问题】二次型矩阵

huangxue8699

是，没有单位化......

[ 本帖最后由 huangxue8699 于 2009-12-26 13:38 编辑 ]

iuliano

楼主打算让谁加强基础知识啊？
二次型的标准型不唯一，这是学过线代的人都应该知道的。比如：配方配出来的标准型那是肯定没经过单位化的，但不能说它错。
至于规范型，有了标准型后根据正、负惯性指数自然就有规范型。
关于这个问题，同济线代第五版有相关的内容，可以去查。

dufehaha

原帖由 iuliano 于 2009-12-26 11:44 发表
楼主打算让谁加强基础知识啊？
二次型的标准型不唯一，这是学过线代的人都应该知道的。比如：配方配出来的标准型那是肯定没经过单位化的，但不能说它错。
至于规范型，有了标准型后根据正、负惯性指数自然就有规范型。
关于这 ...

标准型确实不唯一，但是正交变换出来的标准型是唯一的，系数是二次型矩阵的特征值。这道题不单位化的话，标准型确实没错，但是用来进行坐标变换的矩阵却是错误的。这位同学确实需要加强下基础知识了，呵呵

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-26 12:18 编辑 ]

shn521

“化二次型为标准型也可以不用正交矩阵？”为什么一定要正交变化，这个是不一定的，二次型的标准型是不唯一的，只有在正交变换时才唯一，我都不知道谁要补基础了。

dufehaha

原帖由 shn521 于 2009-12-26 12:20 发表
“化二次型为标准型也可以不用正交矩阵？”为什么一定要正交变化，这个是不一定的，二次型的标准型是不唯一的，只有在正交变换时才唯一，我都不知道谁要补基础了。 ...

你误解我的意思了，化二次型为标准型当然有很多方法，比如配方法、初等变换法等等，得出的标准型肯定不唯一。但是如果用相似对角化的方法就必须用正交矩阵了，也就是正交变换法。本题的解答既然选择了正交变换法当然必须用正交矩阵啦

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-26 12:39 编辑 ]

shn521

我没有误解，呵呵。09版全书。点击可以放大，我画的方框和圆圈是重点。“友情提示：凡是认为化二次型为标准型只需把矩阵对角化而不需要用正交矩阵进行正交变换的同学，请检查自己对二次型的相关概念是否掌握。”引用下

[ 本帖最后由 shn521 于 2009-12-26 12:47 编辑 ]

dufehaha

原帖由 shn521 于 2009-12-26 12:44 发表
我没有误解，呵呵。09版全书。点击可以放大，我画的方框和圆圈是重点。“友情提示：凡是认为化二次型为标准型只需把矩阵对角化而不需要用正交矩阵进行正交变换的同学，请检查自己对二次型的相关概念是否掌握。”引用下 ...

贴这个图想表达什么意思呢？我的补充看了吗？任意二次型都可以用很多方法化为标准型。但是如果选择相似对角化的方法就必须用正交变换。换个角度想一想，如果只要相似对角化，不论特征向量是否正交，是否单位化，那么正交变换法还有什么意义呢？岂不是自找麻烦，多此一举吗？

speculation

友情提示里的话有问题  应该说是相似对角化必须是正交矩阵
但这题的解答里面确实是需要单位化一下的
不然x=py那都不是合同变换了

dufehaha

原帖由 speculation 于 2009-12-26 12:52 发表
友情提示里的话有问题  应该说是相似对角化必须是正交矩阵
但这题的解答里面确实是需要单位化一下的
不然x=py那都不是合同变换了

你说的没错，我已经作了补充了，不然容易引起误解，呵呵

shn521

“如果选择相似对角化的方法就必须用正交变换”这句话本身就是错的，图中说的很明白，矩阵C可逆就可以。不明白算了，我不参与讨论了，浪费时间。