【常见问题】二次型矩阵

沙漠狂鹰

楼主 看下SHN511贴出来的09版全书上面的话 看到 特别的 三个字 了吗？
化为标准型不一定要正交化 你贴的题目是化为规范型 规范型是唯一的 无论是否要正交化都可以划出
所以题目不正交化也是对的，它要不要这一步都没问题 当然加上也没问题
只是全书很多题都说用正交变化法 所以楼主才觉得要吧？
个人理解~~

春凯

这题是错题。

flydruid

此题错了！

gaoran0623

堆了一堆字反驳楼主后发现楼主是对的

纯粹求标准型的话，P1的确没有必要正交化，但是以特征向量作为P1进行坐标转换的话，答案中y2，y3的系数不应该是A的特征值。

题目中以A的特征值作为y2，y3系数，那么P1的确需要正交化，P1没有正交化是错的

但最后的C却是对的

[ 本帖最后由 gaoran0623 于 2009-12-28 06:33 编辑 ]

shn521

我都把二次型的定义贴上了，怎么不看看呢，标准型只要求合同（不需要相似）就可以了，只有当正交变换时才相似且合同，因为此题不需要正交变换，所以也就不需要正交阵，也就是说PP^=2E  也是可以的。不懂的好好看看我在16楼贴的图片吧。

[ 本帖最后由 shn521 于 2009-12-28 11:39 编辑 ]

gaoran0623

原帖由 shn521 于 2009-12-28 11:30 发表
我都把二次型的定义贴上了，怎么不看看呢，标准型只要求合同（不需要相似）就可以了，只有当正交变换时才相似且合同，因为此题不需要正交变换，所以也就不需要正交阵，也就是说PP^=2E  也是可以的。不懂的好好看看我在16楼贴的图片吧 ...

你说的是没错，我也同意

就题论题，这答案的错误在于这一句

令p1=(a1,a2,a3),经x=P1y，有x(T)Ax=4y2^2+9y3^2

a1，a2，a3是A的特征向量，明显这里P1不是正交矩阵
0，4，9是A的特征值，然而只有正交变换的标准型系数矩阵才是特征值组成的啊

我要说的很简单，
如果p1=(a1,a2,a3)且不是正交的，那么y2^2和y3^2前面的系数必定不是特征值
如果y2^2和y3^2前面的系数是特征值，那么这个p1应该是正交化过的（我想楼主是想表达这个意思）

而答案中p1不是正交，y2^2和y3^2前面的系数是特征值，这里有冲突

根据我蛋痛的计算，P1(T)AP1=
[0  0  0]
|0  8  0|
[0  0 27]

这里的标准型应该是8y2^2+27y3^2

这也直接导致P2也算错了

唔，结果C也就错了……我收回lss说的话


不服气的自己沉下气来老老实实算一遍

这题真的不能偷懒，不正交化，就要算P1(T)AP1……
不想算P1(T)AP1，想直接用特征值，就得正交化……

[ 本帖最后由 gaoran0623 于 2009-12-28 12:38 编辑 ]

dufehaha

楼上的这位同学，感谢你的辛苦计算！事实胜于雄辩。如果理论抽象难懂，那么用实践来检验往往是最好的方法。
对于这道题的解答，很多同学看到最后得出的标准型是正确的，就想当然的认为中间的坐标变换也没问题。事实上，如果真的把没有单位化的P1带到坐标变换中去计算，却得到矛盾的结果。再次感谢楼上同学一丝不苟的计算！

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-28 13:26 编辑 ]

YAHWEHISME

的确应该单位化，因为变换出来的对角阵都是特征向量，对吧？LZ很执着，但是现在的非常时期，建议LZ以大局为重，不要因为一道题而浪费太多的时间，多得分才是真理，加油！

zsu_yingxiong

刚看完,跟你想法一样,想算算验证下,答案就明了!
这里有个这样的看法：
凡用相似的方法去求标准型的只能是正交变换了。 这句话不确定对不对？很难去验证的？ 目前只能是认为“相似正交变换可以将矩阵变为对角矩阵（而且是特征值在对角上）"

elliott

原帖由 gaoran0623 于 2009-12-28 12:10 发表


你说的是没错，我也同意

就题论题，这答案的错误在于这一句

令p1=(a1,a2,a3),经x=P1y，有x(T)Ax=4y2^2+9y3^2

a1，a2，a3是A的特征向量，明显这里P1不是正交矩阵
0，4，9是A的特征值，然而只有正交变换的标准型系数矩阵才是特征值 ...

大哥，谁告诉你的规范型一定系数都是相等的？！！！只要经过正确的合同变换，正负惯性指数相同就正确！！！