【常见问题】二次型矩阵

dufehaha

请教大家一道李永乐复习全书上的题(数三P385第三大题第2小题）。我觉得书上的解答有问题，求出来的特征向量没有单位化，这样P1不是正交矩阵呀，大家帮忙看看。题目就是求这个二次型中的参数和规范型，并写出相应的坐标变换，很简单，我就不贴了，下面把书上的解答贴在这：（大家的留言我都一一回复了，供同学们参考，PS：昨天我的回复中有不确切的地方，已经修改了）



46楼的同学已经用计算证明了这道题解答中的错误，供大家参考。同时，我一直坚持的观点“用相似对角化的方法化二次型为标准型，必须用正交变换的方法”也被证明有误（感谢elliott同学在67楼的证明）。那么，如果把这个命题改成"用相似对角化的方法化二次型为标准型，如果要保证标准型的系数为二次型矩阵的特征值的话，则必须用正交变换的方法”，是不是就正确了呢？请大家指正！

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-30 18:01 编辑 ]

YAHWEHISME

求化对角阵不一定要用正交矩阵，除非要求用正交变换

dufehaha

原帖由 YAHWEHISME 于 2009-12-24 15:25 发表
求化对角阵不一定要用正交矩阵，除非要求用正交变换

用相似对角化的方法化二次型为标准型也可以不用正交矩阵？这样不能保证对角矩阵与原二次型矩阵以同一个可逆矩阵相似且合同吧？不用正交矩阵可以保证下面等式成立吗？
上面的等式中要求矩阵A与对角矩阵以同一个可逆矩阵相似且合同（只有正交矩阵才满足），这样才能进行坐标变换。

（关于 “以同一个可逆矩阵”，这里的可逆矩阵是指把一个矩阵相似对角化，或者化为另一个与其合同的矩阵时，用来和原矩阵左右分别相乘的那个可逆矩阵。论坛上没法编辑数学式子，只能这样表达了，希望同学们能看懂我的意思）

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-27 06:24 编辑 ]

huangxue8699

惯性了，看见那个，就直接想到不用失迷特了.......得单位，得单位

[ 本帖最后由 huangxue8699 于 2009-12-26 07:32 编辑 ]

lehulehuo8o8

求对角阵不是必须要单位化的
如果要求是正交变化，那么就必须单位化，正交化。

LZ可看下课本相关例题

plpl70

相似可以推出合同，合同不一定相似。楼主概念不清啊

dufehaha

原帖由 huangxue8699 于 2009-12-25 08:35 发表
不用单位化，本身正交，那三个向量本身正交，都=0    小看下
所以不用画蛇添足

三个向量都正交，组成的矩阵就是正交矩阵了吗？正交矩阵还要求每个列向量的长度为1，那三个向量长度都为1吗？怎么说单位化是画蛇添足呢？

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-26 02:49 编辑 ]

dufehaha

原帖由 lehulehuo8o8 于 2009-12-25 12:03 发表
求对角阵不是必须要单位化的
如果要求是正交变化，那么就必须单位化，正交化。

LZ可看下课本相关例题

这位同学确定看清楚题目了吗？这道题是化二次型为标准型，再化为规范型，不只是化为对角矩阵。如果单单是相似对角化，当然不一定用正交变化，但用相似对角化的方法化二次型为标准型不用正交变化可以吗？

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-27 06:24 编辑 ]

dufehaha

原帖由 plpl70 于 2009-12-25 19:11 发表
相似可以推出合同，合同不一定相似。楼主概念不清啊

实对称相似确实可以推出合同，但是用某个可逆矩阵把一个实对称矩阵A化为对角矩阵B后，能保证对角矩阵B与原矩阵A还是以同一个可逆矩阵合同吗？两实对称矩阵相似确实也合同，但用来和原矩阵相乘以化出新的相似矩阵或合同矩阵的可逆矩阵并不是同一个，只有用正交矩阵Q相乘才能保证是同一个矩阵（因为Q的逆=Q的转置）。
再者，如果只要相似对角化就可以化二次型为标准型，为何书上还要用正交变换法化二次型，岂不是多此一举吗？
应该是楼上的同学们概念不清吧？

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-26 01:42 编辑 ]

dufehaha

再次说明下，本题不是只把矩阵对角化，而是化二次型为标准型（再化为规范型），请同学们看清楚
友情提示：凡是认为用相似对角化的方法化二次型为标准型只需把矩阵对角化而不需要用正交矩阵进行正交变换的同学，请检查自己对二次型的相关概念是否掌握。

针对楼下几位同学的回复我补充两点：化二次型为标准型当然有很多方法，比如配方法、初等变换法等等，得出的标准型肯定不唯一。但是如果用相似对角化的方法就必须用正交矩阵了，也就是正交变换法。本题的解答既然选择了正交变换法当然必须用正交矩阵啦

[ 本帖最后由 dufehaha 于 2009-12-26 12:56 编辑 ]