【常见问题】二次型矩阵

zsu_yingxiong

原帖由 elliott 于 2009-12-29 12:24 发表
对不起各位，我想这是个误会……
我的观点只是想说，用相似对角化的方法，没必要非得将特征向量单位化（也许这个说法有点出入）。我的观点有点离开我们讨论的这个问题了。
我想说的是“用相似对角化的方法，没必要非得将特征向量 ...

“用相似对角化的方法，没必要非得将特征向量单位化”，这是对的，楼主提供的题目的做法是对的，不过中间有一步算错了就是 得出4y1^2+9y2^2 是错的，正确应该是8y^2+27y^2 才对，前面46楼的同学已经算过了，这已经没什么好讨论了。
现在还有个问题就是，假如我们用C(-1)AC=B..(1)去求对角矩阵，A,B都是对称矩阵，B 对角上是特征值，而且顺序是固定的了。在这种条件下，C是否是唯一的？ 教材在这个问题上提供了一种确定C的方法（正交矩阵法），但我个人认为这并不能简单的推出满足（1）式的C必定是所求的正交矩阵

elliott

原帖由 zsu_yingxiong 于 2009-12-29 12:58 发表


“用相似对角化的方法，没必要非得将特征向量单位化”，这是对的，楼主提供的题目的做法是对的，不过中间有一步算错了就是 得出4y1^2+9y2^2 是错的，正确应该是8y^2+27y^2 才对，前面46楼的同学已经算过了，这已经没什么好讨论了 ...

我敢肯定，C必然是正交矩阵，而且C必是单位化了的正交矩阵。这个是可以证明的……
你仔细看看我发的图片，应该差不多能自己看出来……

楼主一直说“用相似对角化的方法，必须用正交变换的方法”。他这种观点显然是错的，我只是想说明这一点。
没想到永乐爷爷这么不争气，竟然算错了，但是题目的方法肯定是对的，这是无疑的。

大家这种怀疑精神是可取的，毕竟永乐爷爷也是会犯错的。在永乐爷爷出的真题解析中，2007年第一道线代题（数学一二三四都有这个题），他提供的解法思路是正确的，但是答案其实也是做错的，数一中解析答案更是很错！400T中也有五六处错误……

[ 本帖最后由 elliott 于 2009-12-29 13:30 编辑 ]

zsu_yingxiong

[quote]原帖由 elliott 于 2009-12-29 13:25 发表

我敢肯定，C必然是正交矩阵，而且C必是单位化了的正交矩阵。这个是可以证明的……
你仔细看看我发的图片，应该差不多能自己看出来……

看了，推得相当好。。

dufehaha

elliott同学推得很好， 我承认“用相似对角化的方法，必须用正交变换的方法”这句话确实不对。那么结合大家的观点，我得出如下两条结论，请大家批评指正：
1. 此题中确实不一定非得把P1单位化成正交矩阵，但如果不单位化，得出的标准型系数应该是8、27，而非解答中给出的4、9。这样，P2和最后的C矩阵都要做相应的改动。这道题解答中的错误是毫无疑问的。
2. 我一直强调“用相似对角化的方法化二次型为标准型，必须用正交变换的方法”，现在看来这个命题是错误的。我想，如果把这个命题改成"用相似对角化的方法化二次型为标准型，如果要保证标准型的系数为二次型矩阵的特征值的话，则必须用正交变换的方法”，是不是就正确了呢？请大家指正！

zsu_yingxiong

对于第二点，还不敢肯定特征值相等，特征向量不正交的情况是否正确

Euler2010

明显错误！合同和相似混了

elliott

嗯，这样说是对的……

agming

的确如此啊~~~

TornadoYu

好贴

蓝血sw

好贴啊
这题答案就是错的，验算就知道了
看了半天  ，楼主确实是最有水平的