【常见问题】二次型矩阵

iuliano

很遗憾，这句话是错误的。
具体为何课本上有，不解释了。

iuliano

原帖由 dufehaha 于 2009-12-26 20:08 发表


既然你说“这道题需要用正交矩阵来变换”，那么我贴出的解答中没有单位化，是不是错误呢？
另外，“与化标准型无关”是什么意思？望明示。

原来是这样。看来没看题就回帖还真是不行。
你贴出来的解答在求标准型这一步没有单位化，显然不是错误。二次型矩阵和它对应的标准型对角阵是相似关系而非合同关系。第二步是求规范型，标准型和规范型之间是合同关系而非相似关系。
我觉得我说得够明确了，这些在课本上都可以找到依据。

howie0521

我同意楼主的看法。
二次型定义要求P必须是转置阵，而转置阵其实不太好求，逆矩阵才好求，方便得出。
而二次型矩阵A就是实对称阵，实对称阵通过正交变化既合同又相似，刚好符合二次型定义，而又好求。
普通矩阵经过可逆阵相似对角化之后，是不满足二次型的定义的。
所以，书上都是说用正交变换化二次型为标准型。其实就省了大家左思右想的劲了。

求标准型就正交变换吧，这样最省劲，也最保险了。

原帖由 shn521 于 2009-12-26 12:55 发表
“如果选择相似对角化的方法就必须用正交变换”这句话本身就是错的，图中说的很明白，矩阵C可逆就可以。不明白算了，我不参与讨论了，浪费时间。 ...

dufehaha

原帖由 iuliano 于 2009-12-26 21:43 发表

原来是这样。看来没看题就回帖还真是不行。
你贴出来的解答在求标准型这一步没有单位化，显然不是错误。二次型矩阵和它对应的标准型对角阵是相似关系而非合同关系。第二步是求规范型，标准型和规范型之间是合同关系而非 ...

这位同学，你说“二次型矩阵和它对应的标准型对角阵是相似关系而非合同关系”。恰恰相反，二次型化标准型必须是合同变换（即对角阵与原二次型矩阵必合同）。至于相似不相似则不一定（只有用正交变换才能保证既合同又相似）。
建议这位同学找本教材复习下二次型的相关概念。

dufehaha

原帖由 howie0521 于 2009-12-27 01:10 发表
我同意楼主的看法。
二次型定义要求P必须是转置阵，而转置阵其实不太好求，逆矩阵才好求，方便得出。
而二次型矩阵A就是实对称阵，实对称阵通过正交变化既合同又相似，刚好符合二次型定义，而又好求。
普通矩阵经过可逆阵相似对 ...

这位同学说的很好！

elliott

你的命题就是错的吧，谁说对角化就一定用正交化？？？？？

elliott

原帖由 dufehaha 于 2009-12-26 20:00 发表
24楼和26楼的两位同学，你们认为这个命题正确吗：“化二次型为标准型，如果选择相似对角化的方法就必须用正交变换”。如果认为上述命题错误，那我也无话可说，只能表示遗憾了 ...

这个命题显然是错的！！！！什么遗憾？？你好好看看书。用相似对角化的方法其实就是合同化，题目又没要求用正交变换。如果题目要求正交变换，这时才必须单位化！LZ好好理解一下

pop_krror

规范型的定义是二次型只含平方项且系数是1,-1,0。该题完成了要求，且变换都是可逆的。楼主用正交矩阵乘相当于增加了条件：所得矩阵与原矩阵相似。而本题合同即可。

pop_krror

当然求出正交矩阵也是正确的，但你不觉得计算正交矩阵运算量相当大么，题目给出的方法得到的结果是最简单的矩阵。

jerrymouse1211

估计楼主混的地方是：认为相似变换化成的对角阵与原矩阵合同，所以必须化成正交矩阵。。这个本人同意，因为只有正交阵才能是其转置等于逆阵。。但是，这道题目根本就没用到求这种方法，它是把一个正定阵拆成了两个互为转置的矩阵的积。。也就是直接上了，不是特征向量的方法。。你的较真似乎弄错了方向。。