【常见问题】为什么“导函数不存在第一类间断点”

天外飞熊ky

原帖由 DC火火 于 2009-6-20 06:34 发表
我觉得你说的不对

你说的：f(x)如果存在一个第一类间断点 那么左极限=右极限 但不等于函数值 那么原函数g(x)倒数不存在

这句话有问题 ！

虽然在这个间断点上 左极限=右极限并且不等于函数值 。
但是在这一点上函数值 ...

哦 后来的几个帖子我补充了一下你可能没有看到 我把4楼的原帖又改了 你帮忙看看这样对不 谢谢

techy1314

我说了是660上的啦，660在自习室呢，没拿回来
大家没有660吗？这个不是必备的吗

DC火火

好吧 我还说说吧  希望大家看看我说的有没有错~

设原函数是g(x)  导函数是f(x)  定义域相同

那么f(x)的每一个值就应该对应是g(x)的导数值

    f(x)既然是个函数，就存在极限，且各个极限值就是g(x)在某点的导数值


首先既然是导函数f(x) 那么说明原函数g(x)一定是在其定义内是连续函数~
假如f(x)在x=a上有一个间断点（第一类）

一、如果该间断点是可去间断点的话：

      1、f(x)在a点左极限=有极限=1 且f(a)不存在
           那么说明原函数g(x)在a点可导且等于f(a)
            但f(a)不存在   
            明显不符合条件

      2、f(x)在a点左极限=有极限=1 且f(a)=2  即：左右极限不等于f(a)
           也就是说g(x)在a点的左右导数是相等的 且=1
           但是，导函数f(x)在a点的值却是2
           明显不符合条件

二、如果该间断点是跳跃间断点的话：

       即说明f(x)在a点上左极限不等于有极限
       那么对于g(x)来说：在a点的左导数不等于右导数  故不可导
       明显不符合条件


故此：导函数f(x)不存在第一类间断点

[ 本帖最后由 DC火火 于 2009-6-20 20:16 编辑 ]

天外飞熊ky

我同意你。
你最好把“一.1、f(x)在a点左极限=有极限=1 且f(a)不存在那么说明原函数g(x)在a点不可导，明显不符合条件”改改说法
因为根据f(x)在a点左右极限相等可以推出g(x)在a点可导 只是不等于f(a) 因此矛盾

techy1314

我把660上的证明拿上来了：
设f(x)在(a,b)可导，x0属于（a,b)是f`(x)的间断点。反证法，若为第一类间断点
f`(x)在x0点的右极限为A+，左极限为A-
推出f(x)在x0点的右导数为A+，左导数为A-
又因f(x)在x0点的导数存在，所以左导数等于右导数等于f`(x0)
推出f`(x)在x0点的极限等于f`(x0)
推出f`(x0)在x0点连续
与已知矛盾，所以不存在第一类间断点
PS:f`(x)是指f(x)的导数，怕有人看不清......好累

DC火火

哇塞  楼上的证明方法真是言简意赅啊

完全正确，只是让我做的话  我可能没有这么清晰的思路

好啊~赞一个

不过你这种证明方法可能对一些有疑惑的同学来说 比较难看懂哦~

看不太明白的同学可以参看我的解释过程33楼

erft1994

本帖提出的问题为“为什么导函数不存在第一类间断点”。
设f(x)在(a,b)可导，x0属于（a,b)是f`(x)的间断点。
原来是有导函数的原函数在(a,b)上可导这个前提条件啊！
这样的话，就顺理成章了。
导函数的原函数如果不在整个(a,b)上可导呢？

erft1994

为什么要满足原函数的定义呢？
小弟我搞不懂，望你解释一下啊，这里只是讨论导函数啊！

erft1994

呵呵，我想了一下：9楼举得这个例子：f(x)=x(x>=0)，f(x)=-x(x<0)，这个函数的导函数是在X=0处不可导的，当然也不连续。所以其导函数的定义域只是x>0并上x<0。所以讨论这个套函数存不存在第一类间断点只能在其定义域内讨论了。
不知道这样自我解释正确么？

天外飞熊ky

对咯，问题就在于这个例子里的函数和其所谓的“导函数”不对应