关于导函数连续与否的困惑

09kaoyaner

我觉得是可以的吧。

ξ=x0+θ(x-x0)  0<θ<1
当ξ->x0时， x-x0=(ξ-x0)/θ  ->0  不对么？

我想还是因为两端取极限的前提是等式两端极限存在吧。

zhangxiaohe

支持09kaoyaner

netepic

今天看了21楼的回答，又想了想该问题，觉得自己也糊涂了。
首先楼主的问题可以简化成这样：
已知f(x)在区间[a,b]连续，在(a,b)可导。
现在要证明f(x)的导函数f'(x)在区间(a,b)内连续。

我的证明是这样。
证：  因为f(x)符合中值定理条件， 则在区间(a,b)内任取x0, 定义H(x)=(f(x) - f(x0)) / (x - x0)
     则存在x0的一个空心邻域U'(x0)， 在这使得H(x) = f'(ξ), 其中ξ在x0和x之间。
     现在设θ(x) = (ξ- x0)/(x - x0)  (0 < θ(x) < 1)
     则ξ= θ(x)(x - x0) + x0   (注：ξ是关于x的一个函数)
     即H(x) = f'(θ(x)(x - x0) + x0)

     现在因为f(x)在x0处可导，因此H(x)在x0处极限存在， 因此对于任何的ε>0,存在δ>0, 当0 < |x - x0| < δ时， 有
     |H(x) - f'(x0)| < ε
     因此对于上述ε和δ， 当0 < |x - x0| < δ， 有0 < |ξ- x0| = |θ(x)(x - x0)| = |θ(x)||x - x0| < |x - x0| < δ
     所以有|f'(ξ) - f'(x0)| = |H(x) - f'(x0)| < ε
     所以当f(x)在x0可导的时候， f'(x)在x0处连续。
     证毕。

以上就是证明过程， 我真的看不出有什么逻辑漏洞，希望大家帮我检查一下

[ 本帖最后由 netepic 于 2008-8-5 14:17 编辑 ]

09kaoyaner

确实，问题又绕回来了。

你是想通过定义证明f'(x)在x=x0处连续，首先，应该明确，一个函数在某点连续要求 1）函数在该点极限存在；2）极限值等于该点处函数值；

针对此题，首先是看f'在该点极限是否存在。由你定义的H(x)及中值定理，应有H(x)=f'(ξ)。因为f在x0处可导，因此H(x)在x0处极限存在，这没错。

但f'(ξ)极限存在么？这是我最大的疑问！？我之前认为的是f'(ξ)的极限可以通过H(x)来演算的，但明显的一个例子--见一楼--就是一端极限存在，一端不存在。

所以我觉得问题还是 H(x)=f'(ξ)，H(x)的极限存在是否意味着f'(ξ)的极限存在。如果f'(ξ)极限不存在，就根本不能用定义。

你再好好想想，有什么新的见解及时告诉我，好吧。

netepic

但在x0的某个空心邻域内， H(x)和f'(ξ)是完全恒等的。 这时就类似这种问题：在区间I内，有f(x)恒等于g(x)，如果在f(x)连续，那么g(x)也一定连续， 这个结论没问题吧？

还有，楼上说的首先要确定f'(ξ)的极限存在， 但现在我的证明过程就是用定义证明了f'(ξ)的极限存在，而且还求了出来。

虽然我是这样想，但很显然证明过程或者条件假设应该还是隐含了一些错误，我去其他论坛问问看有没有答案。

[ 本帖最后由 netepic 于 2008-8-5 18:41 编辑 ]

netepic

我终于搞明白了。 实际上我在20楼说的是正确的。
现在回到我在23楼那个证明过程， 我的证明逻辑是对任意ε>0, 存在δ>0, 当0 < |x - x0| < δ，有0 < |ξ- x0| < δ
，所以|f'(ξ) - f'(x0)| < ε 。 实际上错误就在这一步， 因为要证明一个函数在某点连续， 必须是要该函数自己的自变量变化，从而引起因变量的变化， 但我在上述证明中是， x的变化， 引起ξ和f'(ξ)变化，逻辑错误就在这里！
所以， 要证明f'(ξ)在该点连续， 必须要由ξ->x0, 从而引起x->x0,  这时才有连续可说。

因此回到我20楼所说的， 必须要A推出B， 而且B推出A, 才能有A和B等价！

[ 本帖最后由 netepic 于 2008-8-5 20:17 编辑 ]

netepic

原帖由 09kaoyaner 于 2008-8-5 11:32 发表
我觉得是可以的吧。

ξ=x0+θ(x-x0)  00  不对么？

我想还是因为两端取极限的前提是等式两端极限存在吧。

现在再回到09kaoyaner这个问题， 你在这里实际上犯了一个错误， 就是你把θ当成一个普通常数对待了，实际上θ是一个关于x的函数！
所以把它稍微变换一下可以写成x-x0=(ξ-x0)/θ(x) ，而0<θ(x)<1. 现在当ξ->x0的时候， 还能得出x->x0吗？

魂断调剂道

其实问题不在于ξ->x0和x->x0能否互推，而在于f'(ξ)和f'(x)极限的关系。
例如 F(x)=x^2*sin(1/x)   x不等于0
        0                          x等于0
其导函数f'(x)在x->0时极限不存在，但f'(ξ)的极限是可能存在的，其中ξ(x)是x的函数
因为F(x)在x=0处可导，所以f'(ξ)极限存在，但f'(x)的极限不存在，所以不矛盾。

netepic

f'(ξ) 的在ξ＝0处极限和f'(x)在x＝0处有不一样的地方吗？ ξ和x归根到底只是一个符号而已。

09kaoyaner

你这么说我恐怕不能接受。事实上，在“导函数极限定理”（见华东师大《数学分析》上）的证明中存在 “当x->x0，ξ->x0，两端取极限”从而证明导函数连续这样的证法，该证明前提就是导函数极限在该点存在。

你那个关于导函数连续按定义的证明我觉得是没问题的，但就是前提得是“导函数极限存在”，如果加上条件“导函数极限处处存在”，这么证是对的。

其实证明连续也是个形式过程，不存在那个变量主动那个变量被动的问题。只要满足条件，满足ε-δ定义，就能证明连续。不然Weierstrass也就不会搞这些东西了。