关于导函数连续与否的困惑

netepic

楼上，难道极限定义不是一个判断极限是否存在的依据吗？

netepic

华师大数学分析的导数极限定理证明过程实际上是这样理解， 因为它条件已经假设了f'(x)在x0处的极限存在，
根据中值定理有这个等式存在 (f(x)-f(x0)) / (x-x0) = f'(ξ) 其中ξ是x的函数，可以记为ξ(x)
所以实际上该等式是 (f(x)-f(x0)) / (x-x0) = f'(ξ(x))
所以可以两边取极限。

而你的问题是先假设f(x)在x0点处有导数， 根据(f(x)-f(x0)) / (x-x0) = f'(ξ(x)) 的确还是可以两边取极限
但这时的极限是 f'(ξ(x))在x0处的极限， 这是一个复合函数的极限，但不等于f'(x)在x0处有极限。
至于复合函数在某点处有极限， 是否意味着未复合之前在该点也有极限呢？ 可以举个很简单的例子
f(x) = 1     (x >=0)
          0    (x < 0)
这时f(x)在0处无极限。
但f(x^2)在0处却有极限。
不知道我这样解释你能理解吗？

[ 本帖最后由 netepic 于 2008-8-5 23:45 编辑 ]

09kaoyaner

我今天又想了想，我觉得这样可以解释得通了。

其实在证明过程中，H(x) = f'(ξ)不是恒成立的，也就是说，当0 < |x - x0| < δ，确有0 < |ξ- x0|< δ，当|H(x) - f'(x0)|<ε时，也确存在某个ξ，使|f'(ξ) - f'(x0)|<ε，但在0 < |ξ- x0|< δ上，未必恒有|f'(ξ) - f'(x0)| <ε，所以这么证明是无效的。

09kaoyaner

现在的问题是，究竟“导函数在该点极限存在”这个条件起什么作用？书上有很多“两端取极限”这样的说法，但我觉得太泛泛了，究竟怎样才能“两端取极限”？

实际上照28楼的说法，ξ是x的函数，所以f'(ξ)的极限未必等于f'(x)的极限。

但书上的证明确是两端取极限并相等，能否从定义出发给予证明呢？

netepic

原帖由 09kaoyaner 于 2008-8-6 17:03 发表
我今天又想了想，我觉得这样可以解释得通了。

其实在证明过程中，H(x) = f'(ξ)不是恒成立的，也就是说，当0 < |x - x0| < δ，确有0 < |ξ- x0|< δ，当|H(x) - f'(x0)|

H(x) = f'(ξ) 恒成立是一定。
但0 < |ξ- x0|< δ， 的确没有|f'(ξ) - f'(x0)|< ε, 这就是证明所出的问题。

netepic

当H(x) = f'(ξ) 恒成立时， 只要一边有极限的话， 就可以两边取极限， 这是没问题的。
而问题在于， 此时的极限是f'(x)的极限， 还是f'(ξ(x))的极限。

zhangxiaohe

什么叫某点的极限呢？当然是以各种方式驱近到这点，既包括x方式,也包括x^2方式，可它能叫复合函数f(x^2)在某点的极限么？糊涂了[em:15]

254810607

太经典！

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经典