关于导函数连续与否的困惑

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楼主说的是导函数，仔细看看再说

zhangxiaohe

这里我还想说一下：
1.若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,则导函数f `(x)在x0处连续的充分必要条件是极限lim f `(x)存在。
                                                                                                                                                                                  x→x0
此为导函数连续定理。

2.函数f(x)在区间(a,b)内可导,且f `(x)在(a,b)内单调, f `(x)在(a,b)内连续。应用单调有界定理和洛比塔法则定理可证。

[ 本帖最后由 zhangxiaohe 于 2008-7-27 20:07 编辑 ]

sunson

f(x)的导函数是f '(x),而要看f '(x)在x=0处是否连续,那么就要看f '(x)的导数f ''(x)在点x=0处是否存在,或者f '(0+)=f '(0-)=f '(0)是否成立

[ 本帖最后由 sunson 于 2008-7-27 20:15 编辑 ]

zhangxiaohe

我们把上题推广
已知f(x) =x^m*sin1/x,x≠0 (m为正整数)
              =0,x =0

1.m满足什么条件时,f(x)在x =0极限存在。
2.m满足什么条件时,f(x)在x =0连续。
3.m满足什么条件时,f(x)在x =0可导。
4.m满足什么条件时,f '(x)在x =0连续。

1.当m≥1时,f(x)在x =0极限存在
2.当m≥1时,f(x)在x =0连续
3.当m≥2时,f(x)在x =0可导且f '(0) =0
4.当m≥3时,f(x)在x =0连续且f '(0) =0

还是不懂的同学可看下面的文件：

[ 本帖最后由 zhangxiaohe 于 2008-8-5 17:44 编辑 ]

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经典

09kaoyaner

我想这就是症结所在，看来在两端取极限的问题上我以前犯了一个致命错误。

HZX861

新人看了很多帖子，觉得大家有些舍本求末了，像这样的可以解答实际问题的帖子没人关注，一些流言却十分沸腾，仅是个人意见，只是希望大家不要过分关注知识以外的东西，做好自己最重要了。

lashidelaohu

楼主用中值定理做f'(x)不一定连续 所以两边取极限limf'(x)未必等于f'(x0)

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顶啊

netepic

楼上的很多人都没说到点子上。实际上楼主就错在这一步：
“即 f(x)-f(x0)/x-x0=f'(ξ)
当x->x0，ξ->x0，所以两端取极限，得到 右导数=导数的右极限”

因为当x->x0时，ξ->x0, 但若ξ->x0时， 未必有x->x0.
因此你要把x-x0的极限，变换为ξ->x0的极限，必须要符合“当且仅当x->x0时, ξ->x0时” 才行， 因为你要证明的是一个等式， 必须当A推出B，而且B也推出A，才能证明A和B是等价的。 这是一个逻辑的基本理论。

[ 本帖最后由 netepic 于 2008-8-4 22:04 编辑 ]