关于导函数连续与否的困惑

09kaoyaner

f(x)=x^2*sin(1/x) x不等于0
        0                   x等于0

这是一个导函数在x=0处存在但不连续的例子。

但是由Lagrange中值定理，我可以证明导数在一点存在即连续。
证明如下：

已知f(x)在区间I上可导（当然也连续），任取区间中一点x0，该点导数存在，要证明该点连续。

任取在该点的某一领域内的一点x，在[x0,x](or [x,x0])满足lagrange中值定理的条件（连续，可导），所以

f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)  x0<ξ<x

即 f(x)-f(x0)/x-x0=f'(ξ)

当x->x0，ξ->x0，所以两端取极限，得到 右导数=导数的右极限

同理，左导数=导数的左极限。

因为该点导数存在，所以左导数=右导数=f'(x0)，所以导数的左极限=导数的右极限=f'(x0)，即导函数在x0左连续且右连续，所以连续。

证毕。

我不知道证明的漏洞在哪。

相应地，如果应用Lagrange中值定理，那个例子也会出现矛盾。

[f(0+h)-f(0)]/h=f'(θh),即 h*sin(1/h)= θh^2*sin(1/θh)-cos(1/θh)    0<θ<1

令h->0,θh->0,故右导数=导数右极限。但事实上，等式左端极限为零，右端极限不存在，矛盾。

难道矛盾在于不能对上面等式取极限？这令我很困惑不解，我觉得等式两端，一端极限存在，那另一端是可以取极限的，否则极限就无法演算下去了。

还请各位指导！

魂断调剂道

我觉得还是取极限的问题
已知 [f(0+h)-f(0)]/h - f'(θh)=0 (h≠0)，则 lim{ [f(0+h)-f(0)]/h - f'(θh)} (h ->0) 为0还是可能不存在？

09kaoyaner

自己先顶一下吧，大家都不会吗？

可以说说自己的想法啊，拜托了。

09kaoyaner

关键是为什么啊？

好多应用中值定理的证明都可以两端取极限，比如像混合偏导的证明 fxy=fyx 也用到了中值定理，而且只要其中一个连续就可以证明两者相等。

jiejieup

这函数在0点为什么不连续，x->0不是等于0吗？

zhangxiaohe

此定理利用拉格朗日中值定理证明时,必须满足导函数在x0点的左极限和右极限的存在.
右导数不一定=导数右极限,因为不能对上面等式直接取极限,极限可能不存在.

zhangxiaohe

此帖与下帖有共同之处:
http://bbs.kaoyan.com/redirect.p ... 36&ptid=2322084

zhangxiaohe

都是第二类间断点惹的祸

zhangxiaohe

函数f(x)在【x1，x1+a）内连续，在（x1，x1+a）内可导（a大于0），且导函数在x1点的右极限的存在，则在x1点的右导数与导函数在x1点的右极限相等。

结论：
f (x)在［a,b］内处处可导，而f `(x)导函数在区间内不一定连续，如果不连续存在的间断点只能是第二类间断点！

证明：
按假定，f `(x)在x处不连续，必有两种情况：
1.f `(x)在x处的左右极限都存在；
2.至少有一个不存在；
情况1中，由上面定理：
可知x处，左导数与导函数的左极限相等，右导数与导函数的右极限相等。
由假定f (x)在点x处可导，左导数=右导数=导数，故导函数的左极限=导函数的右极限，与题设矛盾，
故证完。

[ 本帖最后由 zhangxiaohe 于 2008-7-27 14:03 编辑 ]

salome_zhu

根据定义可以证明f(x)在0点连续且可导，何来楼主的问题。且函数在某点可导必定在该点连续，何来可导但不连续之说。