有意思（16）无穷小的“阶”与应用

战地黄花

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。
        两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。
        如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。
        为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。
        利用 Δy ~ d y （数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小 ——
         当 f ′（x0）≠ 0 时 ，Δy ~ d y ，在原点计算Δy和d y ，得到常用的4个等价无穷小
                  sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x  ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2
              最好再记住    1-cos x ~ x ² ∕ 2        （e xp（x）记以e为底的指数函数）
        等价无穷小的复合拓展 ——
                  x→0 时，α (x)是无穷小，则 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，……

          标准阶无穷小与无穷小的阶 ——
        高等微积分 中，把 x→0（或0+）时，幂函数  y = （x的µ次方） 称为µ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是µ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有，
                   x ， sin x  ， tg x  ， arcsin x  ， arctg x  ， e xp（x）-1
                常用的2 阶无穷小有  1- cos x
             等价无穷小的差为高阶无穷小 ——
          值得记一记的有（常见的三阶无穷小）  x − sin x  ~  x ³  / 6  
                              x − lnx（1+ x）~  x² / 2    ，   exp（x）-（1 + x） ~ x²/2！ ，……
          不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。
比如            y = ln（1+x）+ 1-cos x  是1 阶无穷小
再复杂一点，        5x − sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x − sin x ），是1阶无穷小
        由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。

        无穷小的积是高阶无穷小。        
        无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。
比如，   x→0 时， x² + 3x  与 x 同为1阶。实际上，x ² + 3x = x（x+3），后因子极限非0
              但 x sin（1/x）的阶数不能确定。
       在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 ——
        例1       x→∞， 求  lim x sin（2x/（x²+1））
        分析   x→∞ 时，2x/（x²+1）是无穷小，sin（2x /（x²+1））~（2x /（x²+1），可替换。
        例2       x→0 时，  求   lim (5x − sin x - cos x + 1) / (3x - l nx)
             分析    原极限 = lim (4x + 1- cos x + x − sin x) / (2x +x -lnx)
              分子分母都是“多项式型无穷小”。用“化0项法”， 分子分母同除以（商式中的）最低阶的无穷小。                      原极限 = 2
             例3       x→0 时，  求   lim（1/ x²）ln（sin x / x）
        分析（     数三学过幂级数）    sin x = x - x³ / 6 + ……
                         ln（sin x / x）= ln（1— x ² / 6 + ……）~ —x ² / 6 ，可替换。
        无穷小怪例 ——不能确定阶数的无穷小
              怪例1        α = x sin（1/x）和β = x 都是无穷小，但是它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。
        更有意思的是，若 γ = x的k次方 ，则无论 k = 0.9,还是k = 0.99, k = 0.999,……，α总是比γ高阶的无穷小。
        怪例2       x → +∞ 时 ，  l i m （x的n次方）∕exp（x）= 0      即    l i m （x的n次方）exp（-x）= 0
这表明：“x趋于 +∞ 时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或说，    x趋于 +∞ 时， exp（-x）是“任意大阶的”无穷小。它能“吞吸”任一有限阶的无穷大。

        怪例3        x → +∞ 时 ，  lim  l n x ∕ （x的δ次方）= 0  
              其中，δ是任意取定的一个很小的正数。这表明： x 趋于 +∞ 时，“对数函数lnx总是比 x的δ次方 都还要低阶的无穷大。”或说，1 / l n x是“阶数任意小” 无穷小。

        无穷小的阶与级数，广义积分收敛性 ——
        判断级数，广义积分收敛性，首先判断绝对收敛性。
        如果用“无穷小量”的语言来说，则，“级数收敛的必要条件是，n → +∞时 ，级数的通项是无穷小量。”
        这个条件不是充分条件。如果我们已经判定正项级数的通项的无穷小阶数为p ，   则p > 1时级数收敛，p≤1时级数发散。
       “已经判定”是重要前提。请看（并记住）怪例
         尽管1 / n ln n 是较 1/n 高阶的无穷小，但是，通项为 1 / n ln n 的级数也发散.然而，通项为 1 / n (ln n)²　的级数收敛．你却不能确定其无穷小阶．
        *若n → +∞时 ，两个正项级数和的通项是同阶无穷小，则这两个级数或者都收敛，或者都发散。（这是极限形式的比较法的实质。）
        例  ∑ Un为正项级数，下列结论中正确的是______
                 （A）若n → +∞时 ，lim n Un=0 ，则∑ Un收敛。  
          （B）若∑ Un收敛，则n → +∞时 ，lim  n² Un = 0
                  （C）若存在非零常数λ，使得n → +∞时 ，lim n Un = λ，则级数 ∑ Un发散。
           （D）若级数∑ Un发散，则存在非零常数λ，使得lim n Un = λ
               分析  （A）错，条件虽然说明n → +∞时 ，Un是比1/n高阶的无穷小，但我们不能确定其阶数。
        答案为（C），它说明n → +∞时 ，Un是与1/n 同阶的无穷小。

        对于广义积分.有判断定理 ——
        若x→ +∞时 ，f（x）是（能够确定的）大于1阶的无穷小，则f（x）的无穷积分收敛。（能够确定的）
        若x→ b时，f（x）是（能够确定的）低于1阶的无穷大，且f（x）在[a，b]上只有这一个“暇点”，则f（x）在[a，b]上的暇积分收敛。
      （潜台词：要收敛吗？“好”要好到一定程度，“坏”也得尚可救药。）

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-11-30 21:07 编辑 ]

sdc2010

sofa

kanzo

这个帖子挺好的 其实还可以更深入一点的

小慧。。

额，看完后回帖，板凳竟没了…

小慧。。

板凳

occupation

Nettle(LB)

看不懂，哈哈

janxuejun

顶战地老师。。。

juncharlene

[em:42] GOOD

yang4319419

好贴 支持！