函数可积的充分条件？

wudihuanying

这种概念性的问题最头痛了···可是也最重要
求高人解答
O(∩_∩)O谢谢

你娃假打

应该都可以吧 只是积分会有发散和收敛的

tlly2371

在定义域上连续
有限个间断点 有界

leleluke

连续OR有有限个间断点

Brank2011

首先应该感谢楼主提出这个问题！很好，很重要！
在这楼上的几位可能会误导楼主，况且也没有解释清楚。（勿怪！}
先看“二李”给出的解释：
可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。
我们来分析一下这几个条件可以得出一下结论：
1，函数的可积性是针对于定积分提出来的跟不定积分和广义积分没啥关系，所以二楼的关于收敛和发散的解释，并不切题！
2，所有的充分条件中都要求“闭区间”这个最重要的条件，而三楼虽然给出了书本中的解释，但却忽略了这个最最重要的条件，所以可能会误导楼主的。
3，关于第二个充分条件的讨论：有界且有有限个间断点则说明间断点的类型包括第一类间断点（可去间断点和跳跃间断点），第二类间断点中的震荡间断点而不包括无穷间断点，因为无穷间断点使得函数在闭区间内无界。进一步来思考：一般定积分我们用牛-莱公式计算，而第一类间断点使得积分不存在原函数，所以应该用分段积分法计算。第二类间断点，震荡间断点比如说SIN(1/X）的积分虽然可积，但积分如何计算至今还没碰见这类问题，需查积分表，这也超出了我们的考察范围！无穷间断点不可积，但可以用广义积分判断其敛散性，若其他情况，只要能判断其原函数存在，用牛-莱公式即可！
4，关于可积充分条件的第三个条件：函数的单调性是对于连续函数说的，若有间断点，就无所谓
单调性了，所以教材上并未列出这个条件，估计是二李想用“闭区间上单调函数必有界”来说的。无所谓了。由此可见，教材才是最严密的，绝不废话，千锤百炼啊！
可积的必要条件：被积函数在闭区间上有界；
讨论:反证法----若被积函数无界，则积分趋于无穷，肯定不可积了！
总之一句话：可积性是对于定积分的概念，其结果必须是一个确定的值，而不是收敛和发散的问题！
定积分的计算多数要用到原函数：
原函数存在的充分条件：连续函数一定有原函数
但是原函数存在并不能说函数就一定连续，因为存在第二类间断点的函数也可能有原函数，需具体判断！
原函数存在的必要条件：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
暂时还没弄清楚，敬请高手指教！

不知不觉些了一个小时了，快8点半了，赶紧去看书了，大家讨论一下，一起切磋，共同进步，呵呵！

wudihuanying

SIN(1/X）不是在0处无穷震荡么？积分可积？

wudihuanying

函数在闭区间连续但是无界是否可积？
单调但是无界是否可积？

wudihuanying

引用你一句话：
总之一句话：可积性是对于定积分的概念，其结果必须是一个确定的值，而不是收敛和发散的问题！
-------------
这个确定的值包不包括无穷？

八分之冰

可积分的充分条件：函数f(x)在[a,b]上连续 或只有有限个第一类间短点

Brank2011

楼上的话，先然是正确的，因为你缩小了可积的条件！我构造一个含有震荡间断点的函数你看：
例子：f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
这个函数在整个区间上都是可积的（有界，可数个震荡型间断点，故可积）
                         x^2*sin（1/x） ，x不等于0
原函数为连续的分段函数：{         
                                                  x=0                       ，x=0
原函数明显是个奇函数，故在整个定义区间内积分为0。
所以：含有震荡间断点的函数仍有可能 可积。
欢迎参加讨论！
顺便回答楼主的问题：
1，可积，根据可积的充分条件2
2，闭区间上连续函数必有界（课本第一张的定理，自己看书）
   闭区间上单调函数必有界（同上）
3，不包括无穷量。
楼主自己先花点时间看看课本啊。先掌握定理，然后通过练习讨论加深对定理的理解，最后再回归到定理。这是学数学的方法，数学的逻辑性很强且严密，数学语言的每句话都是有背后的定理作为支撑，没有理论依据，讲感觉别人是不会相信的。