考研数学讲座（1）考好数学的基点

落清隽

原帖由 战地黄花 于 2010-1-21 22:39 发表
这套帖子为下一年考试的同学而写。

谢谢  一定要顶！

落清隽

谢谢！

战地黄花

首先联想体验"无限接近"与“近朱者赤，近墨者黑”.

战地黄花

学习线性代数前，你对“根”（“解”）的概念是否有反应？！

战地黄花

新一年，第一步。复习微分学从体验极限开始。

akynana

哲学有道经典的考题~联想到的：
如果运动员迈出一步后，他每走一步都是前一步的二分之一，那么他是不是永远跑不到终点？

xprvictory

说的太好了

战地黄花

《线性代数》的“地基”是，行列式基础知识，向量基础知识，矩阵基础知识。全都需要用“集合”语言来描述。
       数学所说的集合，隐含集合中的“元素”有一定的共性特征。 n 维向量集合由全体 n 元有序数组（a1，a2，- - - ，a n）组成；m×n 阶矩阵是 mn 个元所排成的矩形阵列。这两个集合上都定义了“数乘”与“加法”运算。对于 n 阶行列式，它也有两条性质相应于“数乘”与“加法”。
       集合上的运算在观念上要比四则运算高一个层次。集合上的“运算”本质上是人为规定的特殊运算或特殊对应规律。                    
         “数乘”与“加法”合称为线性运算。由于有负数，因而“加法”实际上包含了通常的减法。数学工作者在讨论一般集合时，往往都希望能在集合中定义线性运算。
       集合中的若干个元素既作数乘又作加法，称为这些元素作“线性组合”。
       学到这个地步，要学会体验数学式的双重含义。一个线性组合式，它既表示相应的运算过程，又代表整个运算的结果。说“向量的线性组合”，有时就指的是运算结果所得到的向量。还比如：
       有限个无穷小量的线性组合是无穷小量。 （“线性组合”表示运算结果）
       有限个连续函数的线性组合连续。       有限个可导函数的线性组合可导。
                 - - - - - - - - -             - - - - - - - - -
         （画外音：不要随口说啊。无穷大的线性组合不一定是无穷大。“∞－∞”是未定式。）
       如果两个变量成正比例，我们就说这两个变量有线性关系。
       在《解析几何》中，我们研究只有方向与模长的“自由向量”。 三维（真实）空间里，两个向量 α ，β 或者平行，对应分量成比例，α = λβ，即两个向量有线性关系。或者彼此不平行但必然都平行于同一平面。这时，我们说两个向量没有线性关系。同样地，讨论一组两个或多个n维向量，我们自然要先考虑它们之间是否存在某种线性关系。即
          “是否有一个向量可以表示为组内其它向量的线性组合。”
或        “是否有一个向量可以被组内其它向量线性表示。”
如果是，就称这组向量线性相关。否则，称向量组线性无关。
       作为数学定义，数学家们总希望其内含更丰富，不愿意突出某一个向量。于是有：
       若有一组不全为零的数c1，c2，---，c k ，使得 c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k = 0 ，就称向量组a1，a 2 ，---，a k 线性相关。否则，称向量组线性无关。
      （潜台词：谁的系数不为零，谁就可以被组内其它向量线性表示。）
       这个定义的内含实在是丰富多彩。
       理解（1） 含“零向量”的向量组一定线性相关。——“零向量”的系数取1，其它向量的系数取0 ，就满足定义。（构造法！）
      理解（2）  “部分相关，全组相关。”。 比如组内有两个向量平行，不仿设a1= ca 2 ，即a1－ ca 2 = 0，其它向量的系数取 0 ，就满足定义。（构造法！）
       这个结论有个伴生结论：“全组无关，部分无关。”
           理解（3）在一个向量组内，向量之间可能存在很多个线性关系。要判断其线性相关性，只需要找到一个线性关系。
       理解（4） 系数为零的向量，实际上并没有参与该线性关系。
       例1     如果向量β可以由向量组 a1，a 2 ，- - -，a k 线性表示，则
           （A）存在一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k，使得 β = c1a1+ c2a 2 + - - - + c k a k  
                  （B）对β的线性表示式一定不唯一。           （C）向量组 β，a1，a 2 ，- - - ，a k 线性相关。
           （D） 组内任意一个向量，一定也可以由β及组内其它向量线性表示。
       分析  已知 β 与 向量组 a1，- - - ，a k  间存在线性关系，故（C）对。
       如果 β 是零向量，而 a1，- - -，a k 线性无关，则（A）不成立。
       如果 a1，- - -，a k 线性无关，则对 β 的线性表示唯一。（B）错。
       谁的系数不为零，谁才可以被β及组内其它向量线性表示。故（D）错。
       理解（5） 如何用定义来具体描述及证明向量组线性无关呢？
       “不存在一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k，使得   c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k = 0 ”
       “对任何一组不全为零的数 c1，c2，- - -，c k，总有   c1a1+ c2a 2+ - - -+ c k a k ≠ 0 ”
        这两种否定性描述都对。但是不好用。我们选择：
       “设有数组 c1，c2，- - - ，c k，使得 c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k = 0 ，则只有 c1= c2 = - - - = c k = 0，就表明向量组线性无关”
        这样一来，“证明向量组线性无关”就程序化了。遇上证明线性无关的题，你先写“设有一组数 - - - ，使得 - - - ，”再具体证明“只有 - - - ”。
       例2    若向量组 α1 ,α2 线性无关，而α1 ,α2 ,β 线性相关，α1 ,α2 ,γ 线性无关，则向量组 α1 ,α2 ,β+γ 线性无关。
       证明  已知 α1 ,α2 ,β 线性相关，即有不全为零的数组使 k1α1 + k 2α2 + k 3β = 0 ，又已知 α1 ,α2 线性无关，必有 k3 ≠ 0，向量 β 可以由 α1 ,α2 线性表示。否则，系数全都为 0 ，矛盾。
       设有数组 c1，c2，c3，使得  c1α1 + c2α2 + c3（β+γ）= 0
          （潜台词：要证向量组线性无关，请证明三系数皆为0）
       如果 c3 = 0 ，同理，只有 c1 = c2 = 0 ，结论得证。
       如果 c3 ≠ 0，则向量 β+γ 可以被 α1 ,α2 线性表示。已证明 β 可以由α1 ,α2线性表示，从而 γ 也可以被α1 ,α2线性表示。这与已知矛盾。只有c3 = 0
          例3    已知向量 α1 ≠0 ，向量组 a1，a 2 ，- - - ，a k 中的每一个向量，都不能由排在它前面的那些向量线性表示。试证此向量组线性无关。
       证明 设有一组数 c1，c2，- - -，c k，使得 c1a1+ c2a 2+ - - - + c k a k = 0
           如果有某个系数非零，（反证法），我们可以从右向左看。设第一个不为 0 的系数是c r ，则向量 a r 就能由排在它前面的那些向量线性表示。矛盾。只有 c1 = c2 = - - - = c k = 0 ，向量组线性无关。
       有一个重要的定理可以和线性相关的定义放在一起学习。
       定理   已知一个n维向量组线性无关，如果在相同的位置给组内每个向量都增加一个分量，则所得的 n + 1 维向量组也线性无关。
       为了好记，我把这个结论称为“线性无关，延长无关。”比如，三维向量组（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）显然线性无关。依据本定理，四维向量组（1，0，0，a），（0，1，0，b），（0，0，1，c）一定线性无关。
       在实际工作中，要分析某个目标变量与我们认定的若干个因素变量之间的关系，以便对目标变量实施预测。通常也首先猜想那是一个“多元线性模型”，然后依据历史记录的各变量数据，用最小二乘法回归出各个系数，再用概率方法作显著性分析。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-1-29 18:57 编辑 ]

战地黄花

小时候，九九表你背了用了多少年？！
初中时，有理数运算算了多少年？！
中学里，代数式运算你又算了多少年？！
学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！
求导不熟，处处反应迟缓。

战地黄花

“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
       非数学专业的本科学生与数学专业学生的最基本差别，在于概念意识。
       数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。
       在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
       在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
            在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
       非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
       大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
       考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。
       做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
       按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有 5 分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
       从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
       你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
        阳春三月风光好，抓好基础正当时。