考研数学讲座（1）考好数学的基点

战地黄花

定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。
       即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。
        1． 海涅定理
            观察 x 趋于 x0 的过程时，我们并不追溯 x 从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近 x.0 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：
       定理（1） 极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0 ，相应的函数值总有相同的极限A存在。
       这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽 x 逼近 x0 的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：
         “如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”
            唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。
       2．用左右极限来描述的等价条件
       用 ε–δ 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：
       定理（2） 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
       这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为
       函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。
       函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
       由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
      （3）突出极限值的等价条件
       考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：
       定理（3）  函数 f（x）在某一过程中有极限 A 存在的充分必要条件是，f（x）－A  为无穷小。
        从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数 f（x）与数 A 无限接近，自然等价于
：          函数值 f（x）与数 A的距离    ∣f（x）－A∣   无限接近于 0
           如果记  α = f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：
                                  f（x）= A + α（无穷小）

       考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。           我用 exp（）表示 以 e 为底数的指数函数，（）内填指数。
       例1   x 趋于 0 时，函数 exp（1/x）不存在极限。
       分析  在原点 x = 0 的左侧，x 恒负，在原点右侧，x 恒正。所以
       x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限  f（0－0）= 0 ，
       x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 +∞ ，    由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x 趋于0时，exp（1/x）是无穷大。
       但是，在这种情形下，函数图形在点 x = 0 有竖直渐近线 x = 0
           例2   x 趋于 0 时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。
       分析   用海涅定理证明其等价问题，“x 趋于+∞ 时，sinx 不存在极限。”
         分别取 x = nπ 及 x = 2nπ 两个数列，n 趋于+∞ 时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故 sinx 不存在极限。（构造法！）
         例3   x 趋于 ∞ 时，函数 y = arctgx 不存在极限。
         分析   把 ∞ 视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，
         x 趋于 +∞ 时，函数极限为π/2 ，x 趋于 －∞ 时，函数极限为  －π/2 ，
         故，函数 y = arctgx 不存在极限。
         请注意，证明过程表明，函数 y = arctgx  的图形有两条水平渐近线。即
                        －∞方向有水平渐近线  y = －π/2 ； +∞方向则有  有 y  = π/2
          例4      当x → 1时， 函数 f (x) = (exp (1/(x－1)) )( x平方－1)∕(x－1) 的极限
                   （A）等于2   （B）等于0    （C）为 ∞   （D）不存在但不为 ∞         
         b]分析   考查 x → 1 时函数的极限 ，通常认为 x 不取1 ；而 x≠1 时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为        f (x) = (x+1)exp (1/(x－1))
           左极限  f（1－0）= 0 ，x 从右侧趋于 1 时，函数趋向 +∞ ，         （选（D））
        （画外音：多爽啊。这不过是“典型不存在1”的平移。）
           例5    f（x）=（2 + exp（1/x））∕（1+ exp（4/x））+  sinx ∕∣x∣ ,  求x趋于0时函数的极限。
          分析  绝对值函数 y = | x | 是典型的分段函数。x = 0 是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉“典型不存在1”，这个5分题用6分钟足够了。实际上
              x → 0- 时， lim  f（x）=（2+0）/（1+ 0）－1 = 1
              x → 0+ 时， exp（1/x）→ +∞ ，前项的分子分母同除以 exp（4/x）再取极限
                                   lim  f（x）=（0+0）/（0+1）+1 = 1
           由定理（2）得  x → 0 时 ， lim  f（x）= 1
          例6   曲线  y = exp(1/x平方) arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有
                     （A）1条． （B）2条。 （C）3条。 （D）4条。              选 （B）  
           分析  先观察 x 趋于 ∞ 时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即 0，1 和 －2 ；对于每个零点 x0，直线 x = x0 都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有
             x →∞ 时， lim y = π/4 ，  曲线有水平渐近线 y =π/4
其中，x →∞ 时， lim exp(1/x平方) = 1    ；    im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））= 1   （分子分母同除以“x平方”）
          考查 “嫌疑点” 1和 －2时，注意运用“典型不存在3”，
            f（1－0）= －eπ/2  ； f（1+0）= eπ/2 ，   x = 1不是曲线的竖直渐近线。
          类似可以算得  x = －2不是曲线的竖直渐近线。
           x → 0 时，前因式趋向 +∞；后因式有极限 arctg（－1/2），x = 0 是曲线的竖直渐近线。
           啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？

           *还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：
           定理（4）夹逼定理 —— 若在点 x0 邻近（或 | x |充分大时）恒有g (x)≤f (x)≤h (x)，且x →x 0  ( 或x →∞) 时      lim g (x) = lim h (x) = A    则必有       lim f (x) = A
           定理（5） 单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）
           加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-2 19:18 编辑 ]

战地黄花

你有体验的意识吗。体验的背景是ε–δ语言。

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非常的好，强烈建议楼主将讲座整理在一起

穆霜飞鸿

有理……我也不是题海战术的类型滴……

ly880625

非常同意lz观点，数学首先得把最基本的抓牢

foryouj

学习了。有意思

战地黄花

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
       也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
       数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
            科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
       或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；
       或 “要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。
       在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
      “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成 “ 连续 A + 不连续 B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
       如果，“ 连续 A + 不连续 B = 连续 C ”  移项，则 “ 连续 C －连续 A = 不连续 B ”
这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。
            有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
       题面上有已知条件 f ′(1)＞0 ，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
              h 趋于 0 时， lim ( f(1+h)－f(1）) / h ＞ 0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。
       又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式 Aα = λα，α≠ 0 ，要是移项写成
                            （A－λE）α = 0，α ≠ 0
这就表示 α 是齐次线性方程组 （A－λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。
       数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
            车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
       对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
      《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
      《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
      《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
       要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
       我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
            多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-1 18:21 编辑 ]

战地黄花

教材上的很多定理，前题都是某个极限存在！

战地黄花

微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。
      1. 概念
           在某一过程中，函数 f（x）的极限为 0 ，就称 f（x）（这一过程中）为无穷小。
       为了回避 ε–δ 语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。
       无穷小是个变量，不是 0 ； y = 0 视为“常函数”，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义  。   
       依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。（潜台词：并不表示极限存在。）比如
       x 从右侧趋于 0 时，lim lnx = －∞ ；x 从左侧趋于 π/2 时 ，lim tgx = +∞
            无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。
       y = tgx（在 x →π/2 左側时）是无穷大。在（0，π/2）内 y = tgx 是无界变量
       x 趋于 0 时，函数 y =（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。
       不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E ；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E 。
       2. 运算与比较
            有限个无穷小量的线性组合是无穷小 ；“∞－∞”则结果不确定。
       乘积的极限有三类可以确定：
       有界变量•无穷小 = 无穷小     无穷小•无穷小 = （高阶）无穷小    无穷大•无穷大 = （高阶）无穷大
其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。
       例10    作数列  x = 1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
                                              y =  0，1，0，2，0，3，0，- - -，0，n，0，- - -
两个数列显然都无界，但乘积 xy 是零数列。这表示可能会有  无界•无界 = 有界

       两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。
       无穷大有类似的比较。
       无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。
       x 趋于 0 时，α = xsin（1/x）和 β = x 都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
       回到基本初等函数，我们看到
       x  趋于 +∞ 时，y = x 的 μ 次方，指数 μ＞0 的幂函数都是无穷大。且习惯地称为 μ 阶无穷大。
       （潜台词：这多象汽车的1档，2档，- - - ，啊。）
       x  趋于 +∞ 时，底数大于 1 的指数函数都是无穷大；底数小于 1 的都是无穷小。
       x  趋于 +∞  或 x  趋于0+ 时，对数函数是无穷大。
       x  趋于  ∞  时，sinx 及 cosx 都没有极限。 正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。

       请体验一个很重要也很有趣的事实。
      （1） x → +∞ 时，  lim （x的n次方）∕exp（x）= 0 ， 这表明：
       “ x 趋于 +∞ 时，指数函数 exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或者说，“ x 趋于 +∞ 时，函数 exp（－x）是任意高阶的无穷小。”
         （2） x → +∞ 时，  lim ln x∕（x的δ次方）= 0； δ 是任意取定的一个很小的正数。这表明：
          “ x 趋于 +∞ 时，对数函数 l nx 是比 x 的 δ 次方都还要低阶的无穷大。”
          在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”； 称exp（－x）为“速降函数”。
            只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。

       例11    函数 f (x) = xsinx （A）当x →∞ 时为无穷大。   （B）在（－∞，+∞）内有界。
                                 （C）在（－∞，+∞）内无界。 （D）在 时有有限极限。   
       分析    这和 y =（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。      （选（C））

       例12    设有数列 Xn，具体取值为
                        若n为奇数，Xn =（n平方 + √n ）∕n ；若n为偶数，Xn = 1∕n
则当n → ∞ 时，Xn  是   （A）无穷大量  （B）无穷小量  （C）有界变量  （D）无界变量   
         分析 一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））
        请与“典型不存在1”对比。本质相同。
         例13    已知数列 Xn 和 Yn 满足 n → ∞ 时，lim Xn Yn = 0 ，则
       （A）若数列 Xn 发散，数列 Yn 必定也发散。 （B）若数列 Xn 无界，数列 Yn 必定也无界。
       （C）若数列 Xn有界，数列 Yn必定也有界。  （D）若变量 1∕Xn 为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小量。
        分析   尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要 Yn 是适当高阶的无穷小，就可以保证  lim Xn Yn = 0
             无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明 Xn 为无穷大。要保证 lim Xn Yn = 0，Yn  必须为无穷小量。应选答案（D）。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-3 07:56 编辑 ]

can_on

在无穷大和无穷小的研究中，0是一个至关重要而且极其特别的数字

它是唯一可以表示无穷小的数字，而且它的倒数不为无穷大