考研数学讲座（1）考好数学的基点

sparkmath

海涅定理是这个吗？呵呵

liuyeziyuan141

顶下~谢谢LZ~看了你的帖子收获很多`

战地黄花

献给2011考研人。

战地黄花

献给2011考研人.

yuqin119

张远达老师的线性代数很不错!

yuqin119

当然楼主涉及了很多矩阵论的内容呵呵,比考研内容有点超纲，学有余力的同学可以看看的,线性代数的知识联系性还是很紧密的.矩阵分解更多是在计算机处理矩阵向量运算问题有了实际可操作性，因为不可能行列式方法求解，复杂度太高，阶乘级的;高斯消元方法衍生出了LU分解方法.当然所有的理论基础都来自于基本的线性代数.对于考研来说,我觉得大家一定首要把线性无关,线形有关,线性表出这3个概念搞清楚,这是非常重要的三个概念，对于研究生之后的矩阵数学学习也是非常重要的.

战地黄花

微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。
       由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
            大学数学还让学生学习两类“分段函数”。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。
       微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。
       1．函数的连续性
       定义 —— 设函数 f(x) 在点 x0 的邻近有定义。当 x 趋于 x0 时，如果函数有极限.且极限值等于函数值 f (x0)，就称函数 f 在 点 x0 连续。否则，称函数 f 在点 x0 间断。x0 是它的间断点。
      “函数f在点 x0 的邻近有定义”意味着，如果函数在点 x0 没有定义，那 x0 只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。 函数 y = 1/x  在原点就是这样的。
      “有极限” 意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”
           函数在一点连续的定义等式，“左极限 = 右极限 = 中心点函数值”，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：“用连续定义求参数值。”则函数可以含一个或两个参数。
       如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。
       最值定理 —— 在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。
       “有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。
       介值定理 —— 如果数 c  能被夹在连续函数的两个值之间，则 c 一定属于此函数的值域。
       请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。
       介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程 F(x) = 0 的根，可以转化为讨论函数 F 的零点。
       例16    试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。
         分析  函数f在闭区间上连续，f必有最大值 M = f（x1），最小值 m =  f（x2），闭区间 [m ，M] 内的任一数 c ，自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。
       例17   试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。
       （潜台词：没有零点的连续函数定号。）
         分析  如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。
       （潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）
       例18   函数f在闭区间 [a，b]上连续，其值域恰好也是 [a，b]，试证方程 f (x) = x 在区间 [a，b]上有解。
       分析  作 F = f (x)－x ，它显然在已知闭区间上连续。且有 F(a)≥0 而 F(b)≤0
如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。
        （潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）
        2． 间断点分类
       连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。
       若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。
       若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。
       第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。
       对于第二类间断，我们只学了两个特例。即
        x = 0 是震荡因子 y = sin（1/x) 的震荡间断点。（ 画外音：请联想“典型不存在（2）”）
        x = 0 是函数 y = exp(1/x)  的无穷间断点。   （ 画外音：请联想“典型不存在（1）”）
       只要函数在 x0 的一个单側为无穷大，x0 就是函数的无穷间断点。x = x0 是图形的竖直渐近线。
       考题中经常把问题平移到别的点去讨论。
       例 19   确定 y = exp(1/x) arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。
       分析   函数的解析表达式中，分母有零点 0 ，1                （潜台词：两个嫌疑犯啊。）
        在点 0 ，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零， 故 0 点是无穷间断点.
              在点 1 ，前因子连续非零，后因子的左极限是 －π/2 ，右极限为π/2，第一类间断。
        三个特殊的“不存在”记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。
       例20 设函数 f (x) = x∕(a + exp(bx)) 在(－∞, +∞) 内连续，且 x → －∞ 时，极限  lim f (x) = 0 ；则常数a ，b满足
             （A）a < 0，b < 0  （B）a > 0，b > 0  （C）a≤0，b > 0  （D）a≥0，b < 0
           分析  初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。
        已知函数连续，则其分母不能为 0 ，而指数函数 exp(bx) 的值域为 (0,+∞) ，故a ≥ 0
              又，x → －∞ 时，极限  lim f (x) = 0 表明， f (x) 分母是较分子 x 高阶的无穷大，即要指数函数 exp(bx) 为无穷大，只有b < 0，应选（D）。
     （画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）
       *例21      已知函数 f (x) 在区间 [a，b]上处处有定义，且单调。若f (x)有间断点，则只能是第一类间断点。
       分析 （构造法） 不仿设 f (x) 在区间 [a，b]上单增，但是有间断点 x0 ；我们得证明 f 在点 x0 的左右极限都存在。
         已设 f 在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有
         x → x0－ 时，f 单增，显然 f (b) 是它的一个上界。故左极限存在。
         x → x0+  时 ，自变量从右向左变化，相应的 f 值单减。显然 f (a) 是其一个下界。右极限也存在。
        构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-11 08:31 编辑 ]

战地黄花

矩阵的“秩”是《线性代数》第一模块(线性方程组)的核心概念。矩阵“秩”的定义是用行列式来描述的。但是要从理论上深入讨论矩阵的“秩”，用向量工具更为方便。所以先要学习向量组的的秩。
        1．向量组的最大无关组与秩
       讨论向量组的线性相关性，其应用背景是，“一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”
       因而我们相应最关心的是，“一个向量组中，最多有几个向量能线性无关，即相互独立。”
        定义    如果一个向量组的子组线性无关。且若把组内别的任何一个向量添加进去，得到的新子组都一定线性相关。则称此线性无关的子组是向量组的一个最大无关组。
       一个向量组可能有好些个最大无关组。但是，最大无关组中含有的向量个数必定相同。（由后述“基本定哩”保证。）称为向量组的“秩”。
        对向量组而言，最大无关组是个客观存在。你需要用它的时候，你就把它设出来。
        例7       向量组增加一个（或一些）向量而秩不变，则新增的那个（些）向量可以被原组向量线性表示。
        分析   实际上  因为新组包含旧组，且，新组的秩 = 旧组的秩，故旧组的最大无关组也是新组的最大无关组。新增的向量可以被旧组的最大无关组线性表示。
        其它向量都给以零系数加上去，则新增的向量被原组向量线性表示。
        最大无关组的基本作用是，它可以将组内每一个向量唯一地线性表示。* 如果给它一个排立顺序，就能使组内的向量与“有序（系）数组”成一一对应，这就自然生成了集合内的“坐标”。
        有趣的是，最大无关组如何唯一地线性表示自身内部的任一向量呢？当然只能是自己的系数取1，其它的系数为0 ；因为它们之间不存在任何线性关系。
       （* 潜台词：任何一个最大无关组，作为“坐标基“，它自身的“坐标”总是“单位向量组”
                      （1，0，…… ，0），（0，1，…… ，0），……，（0，0，…… ，1）      ）
        * 例8   向量组的一个子组是其最大无关组的充分必要条件是，组内每一个向量都可以由这个子组唯一地线性表示
        分析  只需证明条件的充分性。
        设向量组内每一个向量都可以由一个子组唯一地线性表示。
        这个子组不可能有零向量。否则，零向量的系数随意，线性表示式不可能唯一。
        如果这个子组线性相关，则其中至少有一个向量 β 可以被子组内其它向量线性表示。加上 0β 项,，得到 β 被子组全体向量线性表示。
        但是，取 β 的系数为 1，其它向量的系数都为 0，可以得到 β 被子组全体向量线性表示的另一个式子。矛盾。 （反证法结合构造法。）
        一个在研考题中最常见却又最简单的事实是，如果一个线性相关的向量组共有k个向量，又已知其中的k－1个向量线性无关。则向量组的秩为k－1，该无关组就是它的最大无关组。
       例9      已知向量组 α1 ,α2 , α3 线性相关；向量组 α2 ,α3 , α4 线性无关。试问
      （1）向量  α1 能否由 α2 , α3 线性表示？       （2）向量  α4 能否由 α1 ,α2 , α3 线性表示？
       分析    （1）已知向量组 α1 ,α2 , α3  线性相关；向量组 α2 ,α3 , α4 线性无关，所以，α2 ,α3 线性无关，且正好是  α1 ,α2 , α3  的一个最大无关组。α1 可以由 α2 , α3 线性表示。（且唯一地线性表示。）
       （2）如果 α4  能由 α1 ,α2 , α3 线性表示，则由（1）的结论，（潜台词：把 α1 的线性表示式代入。）α4 就能由 α2 , α3 线性表示，这和已知 α2 ,α3 , α4  线性无关矛盾。

        2．向量基本定理
       定理   如果甲向量组的每一个向量都可以被乙向量组线性表示，则
                          甲向量组的秩 R（甲）≤ 乙向量组的秩 R（乙）
        教材内一般都不会证明这个定理。
        显然，如果甲向量组的每一个向量可以由乙向量组线性表示，而甲组向量个数＞乙组向量个数，则甲向量组必定线性相关。
         实际上，唯一的信息链是：      秩R（甲）≤ 秩 R（乙）≤ 乙组向量个数 ＜ 甲组向量个数
        n+1 个 n 维向量必定线性相关，是因为它们可以由前述单位向量组线性表示。
        如果两个向量组能相互线性表示。则它们的秩相等。称为等价向量组。显然，向量集合的最大无关组是两两等价的。
        例10   如果把两个向量组合并为一个组，则“合并组”的秩不超过各组秩的和。
        分析   两个向量组各取一个最大无关组，合并到一起，为了说话方便，称为“小合并组”。显然，“合并组” 每一个向量都可以被“小合并组”线性表示。但是两个线性无关组合并后不一定能全组线性无关。故
                   “合并组”的秩 ≤“小合并组” 的秩 ≤ 原两个向量组秩的和
        问题本身都不算难。难就难在描述向量的语言。      
        考研数学卷常常会有题目：“已知两个含参数的向量组等价，试确定参数值。”那就求向量组的秩，利用秩相等来判断或建立方程。
        如果是“试讨论参数为何值时，两个向量组等价或不等价。”难度就高了很多。因为秩相等的两个向量组不一定等价。我们也难以按定义判定等价性。这时候，题上所给的向量组可能都是三个三维向量的组。如果线性无关，则三维空间的两个最大无关组等价。

       * 3．向量空间
        有的《线性代数》教材上写了一章“线性空间”。非数学专业的学生很难适应那样的理论抽象及其讨论方式。我们不仿将讨论范围限定在n维向量内，就可以简明地说：
       “如果一个 n 维向量集合对于线性运算是封闭的。即集合中任意有限个向量的线性组合仍然是集合中的向量，就称这个集合为向量空间。
        如果一个n维向量集合的秩为 k ，又成功向量空间，就称其为 k 维向量空间。”
              全体 n 维向量组成的集合叫 n 维向量空间。
        三维空间中，“平行于某一已知平面的全体向量组成的集合”显然也是一个向量空间。是三维向量空间的一个二维子空间。
        n 个未知量 m 个方程的齐次线性方程组如果有一个非零的解向量 β ，则对任意实数 c ，向量 cβ 也是该方程组的解向量。进一步还可以验证，齐次线性方程组的任意有限个解向量的线性组合也是该方程组的解向量。
      （画外音：是不是解向量，代入齐次线性方程组去验算一下嘛。）
        这就是说，齐次线性方程组如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。一个齐次线性方程组的全体解向量是 n 维向量空间的子集合，但它对于线性运算也是封闭的。因而也可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组的解空间。
             不要害怕，知道向量集合满足一个运算性质，就给它一个特殊称呼。如此而已！

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-5 10:36 编辑 ]

战地黄花

要想判断准而快，熟记“三个不存在”。

战地黄花

阳春三月风光好，抓好基础正当时。