考研数学讲座（1）考好数学的基点

战地黄花

“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
    非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。    数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。
    在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
    在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
    在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
    非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
    大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
    考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。
    做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
    按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
    从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。
    你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
    阳春三月风光好，抓好基础正当时。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-1-19 21:07 编辑 ]

战地黄花

这套帖子为下一年考试的同学而写。

战地黄花

在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。”发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
      也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
      数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
       科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
      或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；
      或 “要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。
      在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
       “连续函数与不连续函数的和会怎样？”
          写成 “连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
      如果，“连续A + 不连续B = 连续C”  移项，则 “ 连续C －连续A = 不连续B”
这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。
      有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
        题面上有已知条件 f ′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
                       h趋于0时， lim( f(1+h)－f(1）)/h＞0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。
        又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式 Aα=λα，α≠ 0 ，要是移项写成
                （A－λE）α= 0，α≠ 0，
这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。
        数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
             车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
        对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
       《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
       《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
       《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
        要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
        我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
        多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-1-24 08:01 编辑 ]

herbert_seed

讲的很有道理！！

战地黄花

极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
     很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。”
     近两千年前，祖氏父子分别用园的内接 正6n边形周长 替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n 个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”
         国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。
      极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。     
      自变量的变化趋势分为两类，一类是 x →x0  ；一类是 x →∞ ，
       “当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a ？”
如果是，则称数a为函数的极限。
     “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
      学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。
      自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
      自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n 的极限是0 ；x 趋于无穷时，函数 1/x 的极限是 0 ；
      回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，
      x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
      x 趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
      x →0+ 时，对数函数 lnx  趋于 －∞ ；x 趋于正无穷时，lnx 无限增大，没有极限。
      x →∞ 时，正弦sinx 与 余弦conx 都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = sinx 的图形是典型的波动。
      我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin（1/x）。当 x 趋于0 时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当 x 由0.01变为0.001时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而 正弦sinu 却完成了140多个周期。函数的图形在 +1与－1之间上下波动140多次。在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起，就好象是 “电子云”。
      当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
      x 趋于0 时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。      
          更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0 时（或无限增大时）“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。
      考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
      多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用 ε–δ 语言 的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是
      “若 x 趋于 ∞ 时，相应函数值 f（x）有正的极限 ，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)  总有 f（x）＞0 ”
         *“若 x 趋于 x0 时，相应函数值 f（x）有正的极限 ，则在 x0 的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正”
       这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。
       除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。
       若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0 ，则 x 的绝对值充分大时，( 你不仿设定一点 x0 ，当∣x∣＞x0 时，)  函数的绝对值恒小于1
            若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x 的绝对值充分大时，(  你不仿设定一点 x0 ，  当∣x∣＞x0时，) 函数的绝对值全大于1
          *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0 ，则在 0 点 的某个适当小的去心邻域内，或 x 的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1
        （你不仿设定有充分小的数 δ＞0，当 0＜∣x∣＜δ 时，函数的绝对值全小于1 ）
      没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 x0 ，或充分小的数 δ＞0 ，并利用它们。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-1-22 18:58 编辑 ]

alainesun

很好 啊

菜园小生

好贴！！~

战地黄花

你是看题看解看答案，还是看题想解翻答案，还是摆开本子边看边写边想。

ilovetina

写得很好 学数学确实要亲自做题和思考，不能总是做不出来就看答案。lz是数学专业的吗？

战地黄花

大自然中最简单的图形是直线。社会生活中最简单的关系是“成比例”。
      据说当年“工x 队”进驻清华。有一位队员对“井岗山”群众讲话。开场白说，我们工人阶级大老粗，不象你们知识分子弯弯多。我们是“一根肠子通屁眼——直来直去”。一句话让满场 红28团的钢杆粉丝们笑得捧腹弯腰，花枝乱颤。“直”代表简单，早已融进人们的思维。
      初等数学以引入负数为起点，以方程为其重心之一。
      最简单的方程是一元一次方程。最基本的概念是方程的“根”或“解”。
      什么东东叫方程（组）的根 (解)—— 把东东代入这个方程（组），方程（组）化为恒等式。这个概念是学习《线性代数》的基本需要。不少人读到“齐次线性方程组有限个解的线性组合，仍然是该方程组的解”感觉茫然没反应，一是忘了概念，二是不动笔。应对这些貌似理论的语句，其实方法很简单。是不是“解”，代入方程（组）算一算。
      由一元一次方程出发，关于方程的研究向两个方向发展：
     （1）一元 n 次方程
     （2）n 元一次方程组（线性方程组）
      大学数学《线性代数》教材有两大板块。第一板块解线性方程组。基本工具是矩阵，核心概念是矩阵的秩，理论重心是“齐次线性方程组解集的构造”。 第二板块是矩阵特征理论基础知识。n 阶方阵 A 的特征方程是个一元n 次方程。
      一元 n 次方程的讨论点为：求根公式，根的个数，根与系数的关系。
      一元二次方程有求根公式，在复数范围内有两个根。（二重根算两个根。）有韦达定理显示根与系数的关系。
      人们努力探索了大半个世纪，也没能找到一元五次方程的求根公式。回头又花了几十年，证明了所期盼的求根公式不存在。同时也证明了一元 n 次方程在复数范围内有n个根。（k 重根算 k 个根。）还同样找到了高次方程的 “韦达定理”。
      对线性方程组的讨论则衍生出若干基本理论。可以合称为线性理论。依靠着完美透彻的线性理论，所有的线性问题（线性方程组，线性微分方程组，- - - ）都得到了园满解决。
      在研究非线性问题时，人们找到了“有限元”，“边界元”等线性化计算方法。但是一个非线性问题用线性化计算方法产生的齐次线性方程组可能有成千上万个方程。这样一来，方程组的表达方式自然就上升为首要问题。
          描述一个齐次线性方程  a1x1 + a2x2 + --- + a nx n = 0 ，实际上只需按顺序写出它的系数组就行了。这就产生了形式上的 n 维向量（a1，a2， --- ，an）。方程组的两种同解变换，即方程两端同乘以一个数与两个方程相加（减），正好是数乘向量与向量加法。
      如果是有 m 个方程的齐次线性方程组，则 m 个系数行就排成一个 m×n 阶矩阵。
      如果把 n 个未知量也按顺序排成一个向量，每个方程的左端 “a1x1 + a2x2 + --- + a nx n”，正好是，系数向量与未知量向量的 “对应分量两两相乘，加在一起”。数学家们把这个计算方式规定为“向量的内积”。进而规定出“矩阵的乘法”。
      运用有限元方法转换模型时，要多方交互使用每个节点处的数据。这就不可避免地会产生一个负面效应。即所得齐次线性方程组中可能有相当数量“多余的”方程。（如果用几个方程的左端作线性组合，可以得到组内别的某个方程，那个方程就会在同解变换中化为恒等式。所以是“多余的”方程。）这就产生了第二个问题：
       “一个齐次线性方程组中，究竟有多少个方程是相互独立的？”
由此有相应概念 —— 矩阵的秩，n 维向量组的秩。
      解决一个复杂的数学问题，往往需要发展一门甚至多门基础理论。人类的最终收获，常常是远远超越问题本身。欧洲历史上有很多理髮师与钟表匠热衷于数学研究。中国民间也有大量的数学爱好者。中国数学协会常常收到很多诸如“证明哥德巴赫猜想”之类的民间论文，无人敢于拜读只能束之高阁。作者们责难专家们为什么不能帮帮老百姓。回答曰，解决这样巨难的数学问题，必然需要新的基础理论。没有这个前提，你的证明自然是错的。
      实际问题的需要促成了线性理论百花竞艳。柯召先生的开山之作就是一部《矩阵论》。我在本科时是柯先生的钢杆粉丝，企图课余时间读完这套专著。结果读不到一半，但已收获不浅。考研那年，有幸在YM石油局图书馆书库中得到了张远达先生的《线性代数》。张先生主要以行列式为工具。常常在证明一个定理时，出人意料地给出一个辅助行列式，通过计算解决问题。直令我佩服得五体投地。又读了谢邦杰先生的《线性代数》，谢先生创新的“高矩阵” 方法，让我耳目一新。还读了李尔重等老师合写的《线性代数》，这部教材着重照应《线性代数》方法在计算机上实现，让我对高斯消元，矩阵分解等内容有了更深的理解。
     （题外话：最终在考研考场上。我花了不到30分钟，拿到了《线性代数》的100分。那真是读书改变命运啊。）
       知道一点实际背景，会感到一切都自然而然。因为需要而创生新的描述方式；因为需要而定义新的概念；因为需要而“规定”集合中的运算；--- 。愿这能有助于你减少一点抽象感。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-1-24 11:25 编辑 ]