关于第一类间断点的函数是否有原函数问题（已解决）

coolzc

在承认上述两个定理的前提下，这里按楼主的原话，做个反证法。
1.函数F(x)在x0可导的充要条件是左导数和右导数存在且相等（原话）     
2.达布定理：导函数一定不存在第一类间断点


楼主的原话
--------反证法过程

如果f(x)在x0处存在第一类间断点中的可去间断点，
--------假设如果f(x)为连续函数F(x)的导函数且在x0处存在第一类间断点中的可去间断点。


那f(x0)左右极限存在并且相等，则他的原函数不是有：左右导数存在且相等吗，
--------那么由原函数可导推得F(x)的导函数f(x)在x0处左右极限存在且相等，其值为F'(x0)=f(x0) 。


样推的话，F(x)可导，不是矛盾了么.（可假定原函数F（x）是连续函数）
--------可得，f(x0)在x0处是连续的，这与f(x0)是第一类间断点矛盾。故假设不成立，所以导函数不存在第一类间断点。


好了，楼主所说的假设不成立，其实楼主自己也推翻了假设的成立，那么，就说明，楼主所说的“如果”，也就是：如果f(x)在x0处存在第一类间断点中的可去间断点这句话是不成立的。所以围绕这个“如果”成立的推论，也就是"导函数f(x)在x0处存在第一类间断点中的可去间断点，从而，又推得f(x)左右导数存在相等进一步推得F(x)可导"此推论不成立。（按这样的推论，其实也就是相当于用了反证法否定了假设的存在）

[ 本帖最后由 coolzc 于 2009-7-17 01:25 编辑 ]

哲人梅

同学：你好。
我在29楼的帖子你看一下，希望你看完后跟帖讨论。
你的推导其实用不到同济书上的充要条件。同济书的F(x)可导的充要条件是F(x)连续且 F'(x0+)=F'(x0-)。
这个和你的推导没有关系，定理说的是F(x)的导函数F'(x)在x0左右极限存在，这里你把F'(x) 和 f(x)等同了。
你既然从f(x)出发推导，一开始就应该把f(x)看做一个一般的函数，而不是某个函数的导函数（因为它在整个定义域上不一定可积分，也就是说如果把它看做"导函数"，是找不到"原函数"的)。这样，你的推导中在f(x0+)=f(x0-)的时候就不能用同济书上的充要条件了。

你看看这样说怎么样，希望你和我讨论。


最后补充一下，看前面很多人说连续和可导的关系，同济书上的函数可导的充要条件是左导数和右导数相等其实是隐含原函数连续这一条件的，但是楼主是从f(x)逆向推导，这其实不涉及到可导必连续这个问题。

guan_y

别在讨论这个了，楼主从一个错误的假设推出来一正确的命题，不知道这个矛盾有何意义

叙述问题上也不清楚，思维太混乱。。。。

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-17 11:52 编辑 ]

wangao269

f(x0)左右极限存在并且相等，则他的原函数不是有：左右导数存在且相等吗
这个你是怎么推出来的？

心火燎原123

首先感谢你能认真看完我的帖子并一起耐心讨论
总算有人看懂我的问题了！！！
你29楼的帖子我看过 也思考过 明白了一半 现在我取消f(x)有原函数F（x）的假定
f(x)存在可去间断点（x0）  故f（x0+）=f(x0-)   你的意思是
不一定存在 F(X0+)使F'(x0+)=f(x0+),也不一定存在F'(x0-)使F'(x0-)=f(x0-),或者说即使f(x)在x0-与x0+处存在原函数
F（x0+）与G（x0-），这2个原函数在x0的极限也未必相等（需要证明，不属于所学范围）
如果是这样 我就理解了 万分感谢！！！

guan_y

原帖由 心火燎原123 于 2009-7-16 10:30 发表
是啊 所以我觉得书上的话是不有漏洞 还应该加一条 左导数等于右导数=f(x0)时

就这句话足见你的数学基础是多么的薄弱，还是那句话，好好看看极限定义、导数定义、导函数定义。。。。

看看导函数是怎么求出来的，深刻理解一下什么是函数。

你现在对导函数的理解是不是还停留在简单的在函数f的脑袋上加'的阶段？

心火燎原123

同济书78页第9行：x趋于x0时导数的定义公式，对它用洛必达法则就变成x趋于x0时f(x)的极限
不过前提是f(x)是f‘(x)的原函数

心火燎原123

不跟你说了 你又没看懂我的问题 不过我现在已经明白一些了

guan_y

呵呵，那你说说导函数是怎么算出来

说你思维混乱还不服气?

[ 本帖最后由 guan_y 于 2009-7-17 12:25 编辑 ]

wangao269

原帖由 心火燎原123 于 2009-7-17 12:04 发表
同济书78页第9行：x趋于x0时导数的定义公式，对它用洛必达法则就变成x趋于x0时f(x)的极限
不过前提是f(x)是f‘(x)的原函数

不能导，你用洛必达法则那就说明等式右边是对h求导
但左边那导数函数又不是关于h的函数