关于第一类间断点的函数是否有原函数问题（已解决）

jifenglei

我觉得，如果函数在x0处可导的话，而且左导数等于右导数，
则该函数在该点的导数等于左导数，也等于右导数。

如果导函数存在第一类间断点（可去间断点），
如果函数在某点的左导数等于右导数，
但函数在该点的导数即不等于左导数，也不等于右导数，
则与导数的定义矛盾。

考虑导数的定义，可导必有导数，导数的定义决定了
导函数不存在第一类间断点。

jifenglei

另外，导数以极限的形式定义的。
左导等于右导，则左极限等于右极限，
所以该极限值是存在的。

因此根据极限存在定义，左导等于右导，则该导数肯定存在。
由导数的定义，决定导函数一定连续。

因此左导等于右导，是可导的充要条件。

caonidabidouzi

如题
可导必连续
再看看达布中值定理证明过程

sy172839735

如果X0是第一类间断点，它还可能使左极限等于右极限吗？
去看看左极限和右极限的定义
单侧极限必然隐含着单侧闭区间连续
左右极限存在，则：
左侧单侧闭区间连续，然后侧闭区间连续，那么在这个点X0就连续了

怎么可能还是第一类间断点了！！！！！！！！

gnoyaix

楼上 我感觉你第一句话既有错误吧  
引用"如果X0是第一类间断点，它还可能使左极限等于右极限吗？”
函数关于间断点的讨论
归根结底是按极限的定义来定的
即判断一个函数在某个值如X0处是否连续 不连续是什么间断点
就是判断X0左右极限值 以及f(X0)值比较
1假如左右极限值相等且和f(X0)值相等 得出结论是连续

gf8188

楼主要明白一点，可导必连续，而单侧可导必然有对应的单侧连续(如在某点左导必左连续，右导必右连续)
这样那条定理“函数F(x)在x0可导的充要条件是左导数和右导数存在且相等”就是显然的了

而所谓“可去间断点情况”，那个压根不符合定义。楼主可以细细看课本单侧导数的定义，那可是包含端点的啊。若按公式去求证符合的话，你假设的那个“可去点”也必然是刚好填住那个“简断之点”，二者重合而连续。

“达布定理：导函数一定不存在第一类间断点”。这个与上面不是一个知识点的。这定理讨论的是积分原函数问题，仔细去看有几点要搞清：
导函数必存在原函数，导函数(即若函数存在原函数)必然不存在第一类间断点但可能存在第二类间断点；原函数不一定是初等函数，原函数必然可导连续。

gf8188

原帖由 sy172839735 于 2009-7-16 22:03 发表
如果X0是第一类间断点，它还可能使左极限等于右极限吗？
去看看左极限和右极限的定义
单侧极限必然隐含着单侧闭区间连续
左右极限存在，则：
左侧单侧闭区间连续，然后侧闭区间连续，那么在这个点X0就连续了

怎么可能还是第一类 ...

单侧可导有对应的单侧连续。而单侧极限是不包含端点的，“单侧极限必然隐含着单侧闭区间连续”你这么讲就不正确了

哲人梅

原帖由 sy172839735 于 2009-7-16 22:03 发表
如果X0是第一类间断点，它还可能使左极限等于右极限吗？
去看看左极限和右极限的定义
单侧极限必然隐含着单侧闭区间连续
左右极限存在，则：
左侧单侧闭区间连续，然后侧闭区间连续，那么在这个点X0就连续了

怎么可能还是第一类 ...

你这样想是不对的。
当然可能。
随便举一个例子
f(x)= x (x>0)
        1  (x=0)
        2x (x<0)
对f(x)这样一个分段函数，首先它在x=0处是第一类间断点。但f(0+)=f(0-)=0   左极限等于右极限

[ 本帖最后由 哲人梅 于 2009-7-16 23:14 编辑 ]

心火燎原123

晕死 你们都没看清楚我的问题
我的问题中 原函数F(X)是连续的 假设他的导函数f(x)存在第一类间断点
在这个前提下再来讨论f(x)是否可能有原函数F(X)   
所以可导必连续之类的问题不要再说了

[ 本帖最后由 心火燎原123 于 2009-7-17 12:06 编辑 ]

gf8188

你假设的第一类间断点，那怎么可能存在原函数呢
只有存在第二类间断点的函数，可能存在原函数，不过这不在所学讨论范围