100个数学故事陪你走过考研一轮复习

一招老师 · 发表于 2017-4-20 10:01

楼主毕业于西南交通大学数学学院，硕士研究生，现在贝特狗考研（这是一个APP）做线下数学辅导老师，我将用我的亲身经历为大家在考研数学迷茫的学习中指点迷津。
对数学的热爱和天赋不知道要追溯到什么时候，如果非要说，可能得从四年级破天荒想出设两个未知数解应用题，或者五年级发现了去括号的规律说起吧。备注一下，我小学在乡村小学上课，就是下雨房顶会漏雨那种，教学质量万不能和现在的小学相比。
虽然说高考数学138上了大学，大学之后分别获得了“苏北赛”和“电工杯”数学建模一等奖，研究生也获得了“华为杯”数学建模一等奖，。但是讲真，大二之前一直在要不要转专业迷茫徘徊着，因为太多的同学与数学渐行渐远，要么转专业，要么准备考研换专业，要么考公务员之类，毕竟枯燥的数学是一个没有“钱途”的专业。
但是，一门课让我下定决心在数学道路上坚定不移地走下去，不是数学分析，也不是高等代数，而是“数学史”。当看到欧拉左眼失明之后笔算工作，右眼失明之后心算工作时，为之感动；当看到358年间无数数学家为了证明“费马大定理”而独居深山老林，但最后却无功而返时，为之惋惜；当看到女数学家希帕蒂娅为了真理，宁愿让贝壳刮掉身上的肉而惨死时，为之愤愤；当看到“自然数倒数平方和等于π平方/6”时，不由得感叹π的奇妙……
正是由于这五味陈杂的情感鞭策着我在数学的道路上漫漫求索，再看现在考研学生为了应付考试，天天做题，将有趣的数学做得死气沉沉还没有提高。于是决心汇编100个数学故事，每日一则，与正在研途中的朋友共勉。

一招老师 · 发表于 2017-4-21 08:31

故事1.镇楼：三次数学危机之一，可以说，数学的发展就想航行在大海中的船，经常险象环生，在两千多年的发展中，一共经历了三次数学危机。

古希腊数学非常好，初中学的几何都是古希腊时期的产物，这个时候中国差不多还在春秋战国时期混战。

古希腊有个数学家，哲学家，叫做毕达哥拉斯，非常牛逼，地位和中国的孔子差不多，他有很多学徒，他和他的徒弟们引领着数学的发展，这个派别叫做“毕达哥拉斯学派”，他们认为“万物皆数”，这里的数是指整数，也就是一切东西都是整数构成，那时他们对分数已经有了深刻的认识，知道分数就是整数除以整数。他们提出，在数轴【0,1】之间的任何一点，总可以找到一个数N，把这个长度等分N等分，而这个点恰巧在其中一个等分点上。用现在的话说，就是任何一个数都是一个有理数。这个定理被奉为信仰。

直到有一天，他的徒弟希帕索斯发现，边长为1的对角线的长度（现在叫做√2）不能满足以上要求，他把这个发现告诉了师傅毕达哥拉斯，毕达哥拉斯大惊失色，认为发现了一“魔鬼数”，派人讲希帕索斯扔进河里淹死，试图掩盖。然而纸包不住火，越来越多的人发现了更多的无理数，毕达哥拉斯的数学大厦就此崩塌。
解决方案：无理数的发明。解决结果，完美！☆☆☆☆☆

一招老师 · 发表于 2017-4-22 20:18

故事2.第二次数学危机。数学发展到了十七世纪，牛顿发明的微积分解决了天体运行的问题，并计算出了很多之前不能计算的问题，科学家觉得非常方便，开始批量使用。但是，人们却逐渐发现了一个问题，不得不写一个公式来说明，△S/△t=2+△t,学过极限的同学都知道，△t在接近0时，等号左侧的比值极限是2，因为我们把右侧的△t赋值为0，但是我们看左边，△t是分母，显然不能为0，所以这个玩意儿一会儿是0，一会儿不是0。
它到底是不是0呢？牛顿说不清楚，莱布尼兹也说不清楚，最后大家都在用（因为太方便了）但是没人能解释。这就是著名的“庞克来责难”（顺便说一句，庞克来不是科学家，只是一个传教士，他害怕科学动摇了宗教的地位，自己没有饭吃，才这样摇旗呐喊反对微积分）
一年，两年，三年一直到150年，都没有人能说清楚它到底是什么。直到出现了一个伟大的人——柯西（不陌生吧？柯西中值定理，柯西不等式）。他简直太牛逼了，居然想出了用极限的方式来定义极限，可以说没有柯西，就没有高等数学。
解决方式：极限的发明。解决结果：完美！☆☆☆☆☆

一招老师 · 发表于 2017-4-24 11:14

故事3.第三次数学危机.在十九世纪七十年代，康托尔创立了集合论，就是高一第一章所学的内容，康托尔是第一个触摸无穷的人。康托尔花了毕生的精力让全世界承认自己的集合论。大数学家庞加莱宣称：“数学的严格性，看来直到今天才可以说实现了。”可是，正当所有人感叹这个伟大的发明的时候，英国哲学家罗素提出的罗素悖论就如晴天霹雳，瞬间完全摧毁了整个集合论大厦，让无数数学家的科研成果付诸东流，整个数学界发生了大地震。

罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ S}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S

如果大家都没看懂的话，这里有一个通俗的解释。有一个袋子能装下所有的苹果，肯定没问题，那么如果有个袋子，能装下所有的袋子。那么袋子能不能装下它自己本身？如果有一条鱼，能吃下所有的鱼，那么它能不能吃掉自己？这样一想，不就是觉得这个显然是不可能的嘛？

罗素悖论引起了数学界的大震动，集合论一度陷入危机。1908年，策梅罗提出第一个功理化集合体系理论？什么很高大上？听不懂？没关系，策梅罗就在那个口袋上贴了一个标签“这不是一个袋子”。在那一条鱼外面贴了一个标签，“这不是一条鱼”。这下好了，我们就不会出现矛盾了。
这就是著名的ZF公理系统，它规定了集合不能包含自身，也定义了集合的交集，并集，差等运算。
这样的公理系统显然回避了罗素悖论。那么它有没有解决罗素悖论呢？显然没有！
解决方式：建立集合公理化系统。解决结果：不完美！☆☆☆

强悍de酱油王 · 发表于 2017-4-24 11:59

很有意思[花痴][花痴][花痴]坐等楼主发第三个故事

来自iPhone客户端

一招老师 · 发表于 2017-4-25 16:02

故事4.高斯尺规作图正十七边形。1796年，在德国哥根廷大学。吃完晚饭，按照惯例，开始做老师给他布置的三道数学题。前两道题，那是轻松加愉快，以迅雷不及掩耳盗铃之势迅速做完了。第三道题写在书的夹缝中的一条小纸条上：尺规作图做出正十七边形。天啦，这道题居然太难了，他用了所有的数学知识都没有办法解决。他怀疑自己是否上了一个假大学，不过并没有放弃，开始试着一些非常规的思路去做。。。

直到窗口露出曙光，他才解决了这道题。

他第二天把作业交给老师时，惭愧地说到“对不起，你给我布置的第三道题，我整整做了一晚上”，老师看完作业之后，不敢相信自己的眼睛，激动地说：“你知道吗？你解开了一道两千多年历史的数学悬案，连牛顿也没有解决！”。原来，他老师也最近在想这道题，没有睡醒，把这道题错拿给了高斯。

在发生这件事之后，高斯回忆说“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也解不出来。”

那时，高斯才十九岁，朋友们，你十九岁时在做什么呢？