【考研帮干货】中值定理的应用及辅助函数的构造方法

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      有关中值定理的证明问题是历年出题的一个热点，将中值定理和介值定理或积分中值定理结合命题是比较常见的命题形式。首先复习一下各大定理：

      1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a < ξ < b).

      Ps:c是介于A、B之间的，结论中的ξ取开区间。

      介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M，最小值m,若m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C。

      2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b) < 0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.

      Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.

      3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：

      （1）、在闭区间[a,b]上连续；

      （2）、在开区间(a,b)内可导;

      （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).

      那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得f`(x)=0;

      PS：在用罗尔定理时，关键是找出辅助函数，且结论成立前提为开区间内取值

      4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

那么在(a,b)内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).

      5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足

（1）、在闭区间[a,b]上连续；

（2）、在开区间(a,b)内可导;

（3）、对任一x(a < x < b),g`(x)≠0,

那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f`(ξ)/g`(ξ)

Ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。

  题设或证明结论中含有一般的a,b,f(a),f(b)时，经常可考虑直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理证明。

  对于“存在两个点”的问题，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。

       6、积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ(a≤ξ≤b)使

      
       Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用。

       通过上面对各个定理的简单介绍，可以看出“恰当构造辅助函数”成为灵活运用中值定理的关键。下面将介绍几种常见的辅助函数构造方法：

       1、原函数法：先将ξ化为x，然后将式子恒等变形以便于积分，按照常微分方程求解后，所得式子F(x,f(x))=C,则F(x,f(x))即为所需的辅助函数。
       2、常数比值法：它适用于常数已分离的命题。
       3、观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：

【本文核心内容由考研帮特邀约稿人刘妍老师供稿】
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kuanian2011

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隼leo

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步天台

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vivoluo

好好啊好啊好啊好啊好啊好啊哈哈哈哈哈哈哈哈

vivoluo

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朱福霞

谢谢你:-)

bao2516090

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Emma___

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