求教大神关于泰勒公式问题

不胜人生一场醉

我认为此题思路是:
（1） x^2在0处泰勒公式展开到n阶=x^2+o（x^n），
（2）ln（1+x）在0处泰勒公式展开到n阶=x-x^2/2+......+（-1）^（n-1）· x^n/n+o（x^n）
（3）展开后 二者相乘=f（x）的泰勒公式展开至n阶，然后对比x^n的系数  f^（n）（0）/n！  最终得出f^（n）（0）

但是解答当中有几点没看懂 请教大神：
1 为什么解答中只将ln（1+x）展开到n-2阶？
2 照片中第一处划红线的地方也不对 ，在n-2处应该是（-1）^n-3呀 第二处画红线部分应该是o（x^n-2）呀 为什么解答写的是o（x^n-1）呢？

Cicida

展开到n-2阶是因为前面有x^2，-1的幂次表示正负号，只要能正确表示符号即可

不胜人生一场醉

Cicida 发表于 2013-7-4 15:55
展开到n-2阶是因为前面有x^2，-1的幂次表示正负号，只要能正确表示符号即可 ...

f（x）的n阶泰勒展开=x^2的n阶泰勒乘以 ln（1+x）的n阶泰勒公式   
但是ln（1+x）只展开到n-2阶  可以吗？  另外（-1）的幂 只是正负号  可是也应该按照公式写呀  按照公式展开至n-2阶，(-1)的幂应该是（-1）^（n-2-1）呀  即 （-1）^k-1    k=n-2

战地黄花

这个题型，是属于函数展开为幂级数的唯一性定理。
唯一性定理 ——无论用什么方法将函数展开为幂级数，这个幂级数一定是该函数的泰勒级数。
没有唯一性定理作背景，前一方法案本身有问题。
按照间接法，x平方乘以ln（1+x）的展式，就是（x平方）ln（1+x）的泰勒级数。由唯一性定理，所求答案就是ln（1+x）的泰勒级数之n-2次方项的系数。
五个常用的泰勒级数，我们当然是背得很熟了。

不胜人生一场醉

战地黄花 发表于 2013-7-4 21:15
这个题型，是属于函数展开为幂级数的唯一性定理。
唯一性定理 ——无论用什么方法将函数展开为幂级数，这个 ...

感谢老师回复！
有几点不是很清楚  x的平方是不是也要泰勒展开？
还有就是照片中画红线的地方 在n-2处（-1）的幂应该是（-1）^n-3呀？

第二处画红线部分应该是o（x^n-2）呀 为什么解答写的是o（x^n-1）呢？

是不是印刷错误？

追猎者@sun

怎么说呢，泰勒公式展开几阶无所谓，想展开几节就展开几节，看体而定。因为题很具体，展开以后能很快解题就行了。其次，最后一个高阶无穷小，只要是前面的项的高阶无穷小就行了，所以可以高两阶，也可以高三阶，这个也是看具体题目设定。不知我说的对么。。[em:18]

追猎者@sun

针对你的问题，第一个，为啥要展开到n-2，因为求的是N阶导，所以前面的x的方和后面的N-2 次方乘起来就是n次，你可以展开到n-1，那么就会多出来一个N+1次方，你就可以找到在0处的N+1阶导数。这就是为啥你要展开n—2，只是为了找到你所要的导数，你可以随意展开阶数，这么做就是为了更简便。你展开N-3阶，你会发现你找不到N阶导数。就是这个道理。只要是泰勒的就是这个道理，不知俺说的能行么

追猎者@sun

我再说下，你的问题，你说的x的方要不要展开，一定是不需要的，你对一个式子进行求在0点的导数，若是运用泰勒公式展开，一定是很多项加起来，x的平方已经是非常简单的项了。患有那种两个乘起来的，分别都不是最简单的，两个式子都需要展开，那么这会就需要运用泰勒公式阶的运算，具体看李永乐书上的公式。2013数三第一道就是泰勒公式阶的运算。

战地黄花

不胜人生一场醉 发表于 2013-7-5 01:31
感谢老师回复！
有几点不是很清楚  x的平方是不是也要泰勒展开？
还有就是照片中画红线的地方 在n-2处 ...

(1)“ X平方的展开式”就是自己。还展什么。
（2）第一红线处，你对他也对。奇偶性是一至的。他想在乘了x平方后更匹配。
（3）第二红线处，你对，他“印错了”。

不胜人生一场醉

追猎者@sun 发表于 2013-7-5 10:19
我再说下，你的问题，你说的x的方要不要展开，一定是不需要的，你对一个式子进行求在0点的导数，若是运用泰 ...

感谢回复！您的回答非常适合我这基础差的人  万分感谢！
兄弟有qq吗 可以加你吗