请教几个原函数存在性的问题

Out_of_Infinity

设f(x)=-1/x^2 if x≠0；f(x)=0 if x=0。那么f(x)在x=0的某邻域是否存在原函数？

设f(x)=sin(1/x) if x≠0；f(x)=0 if x=0。那么f(x)在x=0的某邻域内是否存在原函数？(不要求原函数初等)

狄利克雷函数是否在某个区间存在原函数？

原函数存在是否有比较简单的充要条件？

谢谢

↘听音／

其实就是定积分的特殊上下限（如上限为x，下限为零）再加一常数C
    而定积分的条件是 积分区间有限 和被积函数有界
     1/x^2在趋向零是无穷大 无解 无原函数
      sin(1/x)有界 所有有原函数

↘听音／

。。可积和原函数存在还是有区别的  
原函数存在 条件是被积函数连续
若区间上有第一类间断点 不存在原函数
第二类间断点 就要讨论了

Out_of_Infinity

↘听音／ 发表于 2012-7-5 10:31
其实就是定积分的特殊上下限（如上限为x，下限为零）再加一常数C
    而定积分的条件是 积分区间有限 和被 ...

貌似原函数和积分上限函数不是一回事吧。如果原函数存在。那么的确可以相同；但现在是原函数存在性未知的情况下，真的可以用积分上限函数去判断么？
对于设f(x)=-1/x^2 if x≠0；f(x)=0 if x=0，我也认为应该不存在原函数。但这就好像在说任何含有无界间断点的函数都不具有原函数？
对于f(x)=sin(1/x) if x≠0；f(x)=0 if x=0。也许你的结论正确，但你的判断方法似乎有点问题。狄利克雷函数同样是有界的，但貌似不存在原函数，而且假设原函数为F(x)，如何保证F'(0)=f(0)=0？

Out_of_Infinity

顶一下

苏大小肥牛

解决这个，应当先搞清楚狄利克雷函数D（x）的连续性，这个可以用海涅归结或者实数的稠密性证明（有兴趣的话去看下），我用实属稠密性证明下： 任意的实数x0，对于它的δ去心领域，U+(x0,δ),根据实数的稠密性，至少存在一组递增的有理数组k1,k2,k3......kn 和一组递增的无理数组m1,m2,m3......mn，并且当n趋向于无穷时，kn、mn均为x0，分别求极限lim（n→∞）（x→kn）D（x）=1和lim（n→∞）（x→mn）D（x）=0，两者并不相等，因此lim（n→∞）D（x）不存在，函数不连续

火焰山没时间

谢楼主赐教！

Out_of_Infinity

苏大小肥牛 发表于 2012-7-5 19:56
解决这个，应当先搞清楚狄利克雷函数D（x）的连续性，这个可以用海涅归结或者实数的稠密性证明（有兴趣的话 ...

谢谢，同学是数学专业的吧。我是工科的，对数分那些一窍不通{:soso_e136:}那么另外两个呢？

苏大小肥牛

我不是数学专业的。。。额。。。。另外两个你也不要深究了，我们考研不定积分的解析式都是有限解析式，事实上还有无线解析式，比如你那第二个sin(1/x)，原函数在广义上是存在的，我算给你看下：
   令1/x = t  则x=1/t
      ∫sin(1/x) dx = ∫-sint *(1/t^2) dt  
      把sint按级数展开：sint=∑（-1）^n *[ t^(2n+1) / (2n+1)! ]     n从0到正无穷，然后t∈R
      这样把sint 的展开式带入积分式子，做个无限几积分得到结果的结构是：ln | t |  + ∑ (-1)^n  * [ x^(2n) / (2n *(2n+1)!)  +C  C为任意常数，X∈R

Out_of_Infinity

苏大小肥牛 发表于 2012-7-5 20:03
我不是数学专业的。。。额。。。。另外两个你也不要深究了，我们考研不定积分的解析式都是有限解析式，事实 ...

原来如此，非常感谢