求高手解一道题 本人不才 两个小时全都给它浪费掉了

皇家粥少

此题是吉米多维奇第812题  
无意中同学问我  害得我一夜辗转反侧
最终经过多位研友的帮助完成了一个和吉米不同的方法    完全是当做兴趣来研究了，仅供大家参看，顺便看看还有没有不严谨的地方，  尤其感谢 6044340 同学纠正了我证明上的不严谨
常数函数因为特殊性也比较简单所以下边不做讨论

题目
h(s+t)=h(s)h(t)    函数h(x) 连续   

求证  h(x)=e*(-λt)         -λt在e的上边




思路

一个连续且严格单调的函数在一点不可导有2种情况    （这就排除了震荡的情况）
1，定义式极限趋于无穷 （或者左无穷或右 或都无穷）  也就是斜率无穷大
  2， 左右右导数存在不相等      

第一步 证单调
单调性用比值   f(x+Δx)/f(x) =f(Δx)      设 Δx>0    Δx趋于0但是比0大      
设它的函数值大于f(0)=1 （f(0)=1 用赋值很容易求得）  

前项比后项就大于1 ，那么整个函数就递增   
如果 设它小于那么 就递减      
相等 就是常数函数
所以严格单调


第二步 证左导数，右导数存在
如果定义式极限趋于无穷  那么与条件不符   因为在0点斜率为无穷大就是Y轴了 而且取不到f(0)=1  也不是严格单调的 所以得到  左右导数的极限存在  主要看是否相等
此处因为是严格单调函数所以排除了震荡的情况



第三步 证左右导数相等  见图

此图是研友帮忙整理

用   f(x)*f(-x)=1  得到二者的替换   然后    用定义考虑在0左右的 导数情况   最后能导出2者不管符号还是趋近程度相等 （因为导出是同一个式子）  中间要用到函数连续的条件


然后解微分方程 最后求得答案

    如果大家有好的方法跟我分享下  或者我的证明有错误

皇家粥少

高手都睡觉了么  。。。。。。。。看来今晚睡不着了  呼呼。。。。。

chongyou2012

学过信号与系统吗？根据时域和频域的关系，可以用傅立业变换或者拉谱拉斯变换证明！试试看！现在躺在床上，明天我试试。

wolock

我发现原题了{:soso_e141:}，这不是吉米多维奇第812题么，不过题目还有一个前提，就是h(x)不是恒为0的常数

皇家粥少

chongyou2012 发表于 2011-8-12 00:08
学过信号与系统吗？根据时域和频域的关系，可以用傅立业变换或者拉谱拉斯变换证明！试试看！现在躺在床上， ...

汗 大神 我这没学过  你是数学系的？？

皇家粥少

wolock 发表于 2011-8-12 00:09
我发现原题了，这不是吉米多维奇第812题么，不过题目还有一个前提，就是h(x)不是恒为0的常数 ...

帅哥 有能否 告知下 答案  今晚不想失眠啊  我这人 有不会的题 大脑就会一直想的。

wolock

这怎么上传图片啊，我不会用，不然你去网上下一本吧，网上多得很

wolock

LZ不是考数一的吧，数一能考到这么难？

皇家粥少

wolock 发表于 2011-8-12 00:18
LZ不是考数一的吧，数一能考到这么难？

我考数三   遇到一个不错的题就研究一下  正好同学 问我    没想到一下卡住了  从九点半弄到11点半   。。。。  
幸好遇到你 不然 我今晚肯定失眠的    3Q
考研不会有这种难度吧？

wolock

皇家粥少 发表于 2011-8-12 00:21
我考数三   遇到一个不错的题就研究一下  正好同学 问我    没想到一下卡住了  从九点半弄到11点半   。 ...

我觉得数学系的有可能考到这个程度，高数要能到这个程度估计至少3/4的人做不了