微分方程之题，实在看不懂答案，求大神求解

zyrqy

微分方程之题，实在看不懂答案，求大神求解，04年4分填空真题

x2(d2y/dx2)+4x(dy/dx)+2y=0  做了替换x=et,竟然可以化成d2y/dt2+(4-1) (dy/dt)+2y=0

我勒个去，怎么能这样纸啊！我怎么老实画不出来哇，我化出来怎么就在第一项分母上多个2，t少个平方，第二项直接没搞懂减一是哪里出来的......dt了一中午，求大神解疑.....

Mengxuer

这个属于欧拉方程。换元x=e^t后，可用复合函数的求导公式：
dy/dx=dy/dt×dt/dx=dy/dt×1/x，所以x×dy/dx=dy/dt
d2y/dx2=d(dy/dx)/dt×dt/dx=d(e^(-t)×dy/dt)/dt×dt/dx=[-e^(-t)×dy/dt+e^(-t)×d2y/dt2]×1/x=1/x^2×[d2y/dt2-dy/dt]，所以x^2×d2y/dx2=d2y/dt2-dy/dt。

zyrqy

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多谢诶多谢，小和尚.....你的水平跟你犀利的头像一样拉风.......