求教泰勒公式用于求极限时的基础问题

期彩

泰勒公式用于求极限时，怎么确定展开到哪一阶段？最好用一下几道题做解释

因为是自学高数，所以一些基础性的东西都不知道，希望大家帮帮忙……

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根据泰勒公式展开，直到消去未定式~

pangdeying

泰勒公式用起来是简单 但是对泰勒公式要非常熟悉才可以 ！
比如第一个 我还是喜欢常规做法。
诺必达来的安逸！虽然烦点！ 前提是诺必达法则要能用！

LLLYSL

就这这道题，我就将大家经常产生疑问的泰勒公式该展开到什么地方为止在这里说一说吧。欢迎大家补充和指正！
首先，我觉得我们有必要回到泰勒公式的本源去想问题，泰勒公式的功能是什么？是将一个函数展开成我们最熟悉的幂函数！那么现在我们来看看幂函数的一个极限里面最基础的性质

这个性质想必大家都再熟悉不过了，无论理解起来还是用起来，都可以说达到了不用思考的地步。然而，让你们头疼的泰勒公式该展开到哪一项为止用到的却正是这个结论。这个结论的文字描述就是当最高次项的指数相同的时候，极限就等于他们的系数比！
也许此时此刻，大家都有所恍然大悟了。没错，在求极限的过程中，泰勒公式的运用就是展开到他们的最低次项出现为止！
注意，这里说最低次项的原因是往往我们用泰勒公式求极限的问题都是x→0的情况，这里就和之前上面列举出来的有理式比例x→正无穷的情况相反，可以看成是x做了一个倒代换t=1/x而成的，因此有理式比例中最高次项在我们平常求极限的过程中变成了最低次项。
下面用一个例子来说明下吧

说起来其实挺空的，做道题发现问题还有不少。就这道题我说说一些注意事项以及省略了的思维过程吧。
首先，你必须熟记常见的函数的泰勒展开。在做题的时候，如果你不太熟悉，不妨把公式先写在纸上，这样能够帮你看得更清楚。比如这道题目的分子的处理
开始的时候，我比较习惯将根号下那一堆展开到平方，即

但是很不妙，这个时候，与前面的东西相减没了，分子变成0了，此时说明我们展开的不够，必须再往下面展开，于是才有

这个时候分子的处理就完成了，因为这就是我之前所说的，出现了最低次项。
然后分母的处理也差不多，不过要注意一点，就是sinx^2直接可以等价成x^2，因为这个时候sinx^2不参与加减运算，所以直接等价无穷小替换。这里大家可以用泰勒公式去想想，即使展开，他产生的都是很高次项，和前面的相乘之后便更高了，而我们只要最低次项，所以没必要。这里我们可以下结论说，只要是只参与乘除运算，那么等价无穷小可以直接使用。这与大家以前所学的不违背吧~
最后说个注意事项，就是在泰勒公式求极限的时候都用裴亚诺余项来写出，这里的优点显而易见，不过大家容易忽略一点就是忘记写出余项o（x)，这一点如果对要求严格的老师来说，是不允许的，所以希望养成写出余项的好习惯！
这道题就说到这里了，至于另外两道题，可以自己练习一下。比如第一题不是能够直接泰勒做的，必须先做倒代换才行！

期彩

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谢谢版主讲的这么详细，理解后，前两道题也会做了！很开心

LLLYSL

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恩，不过像这种总结最好还是靠自己才来的印象深刻

q447350858

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版主太给力了，，

Poem_Mua_

LLLYSL 发表于 2011-2-16 23:15
就这这道题，我就将大家经常产生疑问的泰勒公式该展开到什么地方为止在这里说一说吧。欢迎大家补充和指正！ ...

斑竹吖= =乃素不素分母少打了个x2，我看了半天= =，嘿嘿

lionman

四楼好贴！版主好强大！

华夏不倒翁

LLLYSL 发表于 2011-2-16 23:15
就这这道题，我就将大家经常产生疑问的泰勒公式该展开到什么地方为止在这里说一说吧。欢迎大家补充和指正！ ...

版主，我还是不理解啊。我明白了趋向于无穷大时应当展开到最低阶项，不过用泰勒公式已展开首先就是出现0次和1次项，那就是说展开一次就行了？