分享一个函数，希望对大家关于导函数的性质有所理解

scl1989 · 发表于 2010-9-16 18:04

这个是同学帮我找到的，看到有的学友在这点上纠结，希望不明白的同学分析一下可以有所帮助
f(x)=x^2*sin(1/x),x不等于0，f(x)=0,x=0

scl1989 · 发表于 2010-9-16 18:12

分析：x^2*sin1/x在x趋近0时由无穷小乘于有界为0可知在0点连续；有定义讨论0处可导性，(f(x)-f(0))/x在x趋近0时为xsin1/x,同样趋近于0左导等于右导，必然可导；再者我们对不为0的式子直截求导：2x*sin1/x-cos1/x,我们发现0点左极限和右极限都不存在，所以导函数在0点间断，而这个间断是振荡间断点

scl1989 · 发表于 2010-9-16 18:33

之所以说导函数不存在第一类间断点是因为：我们用拉格朗日定理(f(x)-f(x0))/(x-x0)=f(ζ),ζ在x和x0之间如果是第一类间断点必然导函数左极限和右极限都存在对上面式子求x趋近x0的左极限有在x0处函数左导等于导函数左极限同理右极限也是。这样的话既然函数可导必然左导等于右导，左极限等于右极限，导函数必连续。更深一步说如果是无穷间断点，那么式子左右两边都趋近无穷了又和左右导存在矛盾。
所以这个导函数的间断点归结为第二类非无穷形间断点更准确

scl1989 · 发表于 2010-9-16 18:35

以上证明过程参考了战地老师的课程，见笑了

maoda_1986 · 发表于 2010-9-16 19:21

恩，总结得很好

530646973 · 发表于 2010-9-20 16:19

so what a conclusion can we draw

scl1989 · 发表于 2010-9-20 16:53

一个函数连续那么其导函数不一定连续，若导函数间断那么间断点只能是第二类非无穷间断点

scl1989 · 发表于 2010-11-2 09:45

补充一点，这个函数的导函数虽然不连续，但是存在有限非无穷间断点，同样是可积的，所以还有个结论，即使函数可积，并有原函数，仍不能保证其连续

祖先是神 · 发表于 2010-11-2 10:14

每次来数学版都大受打击，高手真多

scl1989 · 发表于 2010-12-10 21:14

补充下：
f(x)=x+2x^2*sin(1/x),x不等于0
f(x)=0
这个函数连续，在0处导数大于0，导数不连续
但是不存在任何一个0的临域使f(x)单调增

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