分享一个函数，希望对大家关于导函数的性质有所理解

scl1989

这个是同学帮我找到的，看到有的学友在这点上纠结，希望不明白的同学分析一下可以有所帮助
f(x)=x^2*sin(1/x),x不等于0，f(x)=0,x=0

scl1989

之所以说导函数不存在第一类间断点是因为：我们用拉格朗日定理(f(x)-f(x0))/(x-x0)=f(ζ),ζ在x和x0之间如果是第一类间断点必然导函数左极限和右极限都存在对上面式子求x趋近x0的左极限有在x0处函数左导等于导函数左极限同理右极限也是。这样的话既然函数可导必然左导等于右导，左极限等于右极限，导函数必连续。更深一步说如果是无穷间断点，那么式子左右两边都趋近无穷了又和左右导存在矛盾。
所以这个导函数的间断点归结为第二类非无穷形间断点更准确

scl1989

以上证明过程参考了战地老师的课程，见笑了

maoda_1986

恩，总结得很好

530646973

so what  a conclusion can we draw

scl1989

一个函数连续那么其导函数不一定连续，若导函数间断那么间断点只能是第二类非无穷间断点

scl1989

补充一点，这个函数的导函数虽然不连续，但是存在有限非无穷间断点，同样是可积的，所以还有个结论，即使函数可积，并有原函数，仍不能保证其连续

祖先是神

每次来数学版都大受打击，高手真多

wg689

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大家都是高手

aiai_andy

恩。这个含有sin1/x震荡因子的函数比较典型。常见的数学模型就是连续函数一点在某一点的导数存在，但其在某个邻域内不一定可导，我想到的也是构造一个包含sin1/x的函数，有时还涉及判断单调。很多我也是看了战地黄花老师的文章，受益很大。另外原函数存在和可积没有关系，原函数存在只有充分条件，不能给出一个充要条件，第一类间断点和无穷型间断点都是不存在原函数的，如果存在原函数，它的间断点只能是第二类的。