考研数学讲座（7）导数定义是重点

202020

xiexie le

加油Jiao

牛！

zhupengyu3638

很受用 感谢LZ了  不过前几个在哪？

战地黄花

选定一个中心点 x0 ，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。  微量分析考虑的问题是：  在 x0 点邻近，如果自变量 x 有一个增量 Δx    ，       则
    函数相应该有增量 Δy = f（x0+Δx）－ f（x0），我们如何表述，研究及估计这个 Δy  呢？
       最自然的第一考虑是“变化率”。中国人把除法称为“归一法”。无论 Δx 的绝对值是多少， Δy／Δx 总表示，“当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。”
           定义   令 Δx 趋于零，如果增量商 Δy／Δx 的极限存在，就称函数在点 x0 可导。称极限值为函数在点x0 的导数。记为        Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）=  f ′(x0)  
           或     Δx → 0 ， lim (（f（x0+Δx）－ f（x0））／(x－ x0）)  =  f ′(x0)
           或      x →x0 ，   lim (（f（x）－ f（x0））／(x－ x0）) = f ′(x0)
          理解1    你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。    增量 Δy  研究好了，    在 x0 邻近  ，              f（x）= f（x0）+ Δy  ，函数就有了一个新的表述方式。
      回头用“增量”语言说连续，则“函数在点x0 连续” 等价于 “Δx 趋于0 时，相应的函数增量 Δy 一定趋于0”
       理解2  要是以产量为自变量 x，生产成本为函数 y ，则 Δy／Δx 表示，在已经生产 x0 件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。导数则是点 x0 处的“边际成本”。
     （画外音：“生产”过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。）
       如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在 x0 状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果 Δx 趋于零时极限存在，称其（绝对值）为 y 对 x 的弹性。
       理解3    如果函数 f 在区间的每一点处可导，就称 f 在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为 f 的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。
       用定义算得各个基本初等函数的导数，称为“求导公式”。添上“和，差，积，商求导法则”与“复合函数求导法则”，我们就可以计算初等函数的导数。
       例24    设函数  f(x) =（n→∞）lim(（1 + x）∕（1 + x 的2 n次方 ）), 讨论函数 f(x) 的间断点，其结论为
      （A）不存在间断点      （B）存在间断点x = 1         （C）存在间断点x = 0           （C）存在间断点x = －1
           分析 这是用极限定义的函数，必须先求出 f(x) 的解析表达式，再讨论其连续性。
       任意给定一点 x ，(视为不变。)此时，把分母中的“x的2n次方”项看成是“（x平方）的n次方 ”，这是自变量为 n 的指数函数。令 n→∞ 求极限计算相应的函数值。
       鉴于指数函数分为两大类，要讨论把 x 给定在不同区间所可能的影响。（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得
         －1＜x＜1  时 ，f(x) = 1 + x  ； f(1)=1  ； f(－1) = 0
而        x＜－1  或 x＞1 时，恒有 f(x) = 0  ，观察得 x →1 时，lim f(x) = 2 ；应选（B）。

      理解4    运用定理（2），“极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。”则
                   “函数在点x0可导” 等价于“左，右导数存在且相等”。
           讨论分段函数在定义分界点x0处的可导性，先看准，写下中心点函数值  f（x0），然后分别在 x0 两側算左导数，右导数。
      例25       （1）h 趋于 0+ 时， lim( f(h)－f(0）)/h 存在 不等价于函数在 0 点可导，因为它只是右导数。
      （2）h 趋于 0 时，  lim (f(2h)－f（h））/h 存在 不等价于函数在 0 点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。
       请对比:  如果 f（x）函数在 0 点可导，则 h→0 时，
           lim (f(2h)－f（h））/ h = lim (f(2h)－f(0）+ f(0）－f（h））/ h
                                                       = 2lim (f(2h)－f(0）) / 2h － lim (f（h）－f(0))/ h
                                                       = 2 f ′(0) － f ′(0) =  f ′(0)
         （画外音：我把上述恒等变形技术称为“添零项获得增量”。考试中心认为你一定会这个小技术。
      （2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在 0 点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在 = 存在” ）
      例26    若函数 f（x）满足条件 f（1+x）= a f（x），且 f ′(0) = b，数 a≠0，b≠0 则
     （A）  f（x）在x = 1不可导。   （B）f ′(1) = a           （C）f ′(1) = b                  （D）f ′(1) =a b
          分析  将 f ′(0) = b 还原为定义  lim (f(0+h)－f（0））/ h = b   ,
          要算 f ′(1) ，考查  lim (f(1+h)－f（1））/ h      ；   如何向 f ′(0) 的定义式转化 ？！ 只能在已知恒等式上下功夫。
       显然   f(1+h)= a f（h）；而    f（1）= f（1+0）= a f（0）
              lim (f(1+h)－f（1））/ h  =  lim a (f(h)－f（0））/ h = ab         应选（D）。
      *理解5      两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。于是 ，
      连续函数  f（x）在点 x0 可导的充分必要条件是，  x →x0  时，函数增量 Δy 是与 Δx 同阶，或较 Δx 高阶的无穷小。
          考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为“双特殊情形”。这时，要讨论的增量商简化为 f（x）/x ，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，“双特殊情形”下函数在原点可导，等价于 x 趋于 0 时，函数是与自变量 x 同阶或比 x 高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。

      例27   设函数 f（x）在点 x = 0 的某邻域内有定义，且恒满足 ∣f (x)∣≤ x 平方，则点 x = 0 必是 f (x) 的
      （A）间断点。  （B）连续而不可导点。  （C）可导点，且 f ′(0) = 0         （D）可导点，且  f ′(0) ≠ 0   
         分析  本题中实际上有夹逼关系   0 ≤∣f (x)∣≤ x 平方 ，在 x = 0 的某邻域内成立。这就表明 f（0）= 0 ，且
               ∣f (x) / x∣≤∣ x∣，由夹逼定理得，f ′(0) = 0，应选（C）。

     例28     设有分段函数 f (x)：   x ＞ 0 时，f (x) = (1－cosx)∕√x   ； x ≤ 0 时，f (x) = x 平方g(x)
其中，g(x) 为有界函数。则 f (x) 在点 x = 0
                    （A）不存在极限。 （B）存在极限，但不连续。  （C）连续但不可导。    （D）可导。
     分析  由定义得中心点函数值 f（0）= 0 ；本题在“双特殊情形”下讨论。
       x ＞0  时，显然 f (x) 是比 x 高阶的无穷小。右导数为 0            （潜台词：1－cosx 是平方级无穷小。）
            x ≤ 0  时，f (x) / x = xg(x) ，用夹逼法可判定左导数为0 ；     应选（D）。

     *理解6 运用定理（3），若 f（x）函数在点 x0 可导，即有已知极限  Δx → 0 ， lim（Δy／Δx）= f ′(x0)  
于是        Δy／Δx =  f ′(x0) + α(x)（无穷小） ； 即   Δy = f ′(x0) Δx + α(x)Δx
          由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。
         “如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。”
       经济类的考生可以这样来体验“可导一定连续”。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。
       把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。
       不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-20 07:34 编辑 ]

战地黄花

阳春三月风光好，抓好基础正当时。

战地黄花

(7)与(8)是一套，正反两面理解深。

战地黄花

导数定义,出现概率为1

foryouj

标记下

fishli007

谢谢

wubingwinner

大师级人物 谢谢为我们指导讲解收益非浅