考研数学讲座（40）向量内积学在前

战地黄花

集合上的运算概念再向上提升，就是集合上的“二元关系”。内积正是我们在向量集合上规定的一个“二元关系”—— 两个n维向量对应唯一确定的一个数。即
       对于任意两个 n 维行向量 α = (α1, α2, … ，αn) , β = (β1,β2 ,… ，βn) , 规定
                         内积 α•β = αβˊ= α1β1 + α2β2 + …  + αnβn（ = β•α）
      （画外音：喜欢口诀吗？左行右列作内积。对应分量积相加。）
       正如我们在指导（37）中所述，在一定意义上，内积的创意起自于表示齐次线性方程组的需要。把 n 个未知量记为未知列向量 x =（x1，x 2，… ，x n）ˊ，就可以把齐次线性方程组简化表示为  Ax = 0，即第 k 个方程的左端就是A的第 k 行与 x 的内积。
       数学一的考生学习了《空间解析几何》基础知识。《空解》与《平解》的基本差别在于，《平解》的基本工具是方程；而《空解》的基本工具是“向量代数”。其中，向量的“数量积”就是内积。《空解》中介绍了“数量积”的物理模型背景；用内积描述“向量在轴上的投影”；用内积建立轨迹方程；用内积计算各种交角；……。可惜我们的《高等数学》教材往往在多元微积分部分不再注重引导学生使用“数量积”。同学们学习第二型（关于坐标的）曲线积分，曲面积分感到困难，一定意义上说，就是对“数量积”及其物理模型背景理解得较差。
       内积的应用之广，远远超越了它的运算本意。
      1．距离   
      *在《空间解析几何》中， 向量坐标 =  终点坐标 － 起点坐标，向量“模长”就是两点间的距离。
      让 n 维向量 α =（α1，…，αn）和自己作内积，即   α•α =  α平方 = ααˊ= α12 + … +αn2
          通常称 ααˊ的祘术根为向量 α 的“模长”。记为 |α| 。 α∕|α| 是（α方向的）单位向量。并由此得到一个小结论：n 维向量 α 是零向量的充分必要条件是，ααˊ= 0
          借助于向量“模长”与内积，可以进一步在集合内抽象定义“距离”。有了“距离”，又可以再引申出特定意义的“逼近”与“收敛”。这是一条深邃的理论链。最简单的一个应用是，对于实践中出现的不相容的线性方程组 A x = β，我们可以求“使模长 | A x － β| 最小的 x ”，作为线性方程组的解。即最小二乘解。

      2．向量组线性相关，线性无关的等价条件   
     《线性代数》教材中通常把n维向量设为列向量。这样就可以把 m×n 阶矩阵 A 表示为
        A = (a1，a2，---，a n ) ，又称为矩阵A的列分块表达式。
      其中，列向量  a1 = ( a 11，---，a n 1 )ˊ，…… ， a n  = ( a 1n ，- - - ，a n n )ˊ
           如果把每个列块视为一个元素，A = (a1，a2，… ，a n) 就是一个“形式向量”。这个观念对学习《线性代数》大有好处。比如，让“形式向量”与未知列向量x作“形式内积”，可以把齐次线性方程组 A x = 0  改写为
           (a1，a2，… ，a n) （x1，x 2，… ，x n）ˊ= 0   即   x1 a1+ x 2 a2 +--- + x n a n = 0
           对比一下向量组线性相关的定义，就能产生一个新的描述方式：
      一个（n 维）列向量组线性相关的充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应的齐次线性方程组有非零解。
      一个（n 维）列向量组线性无关的充分必要条件是，以它们为列作系数矩阵，相应的齐次线性方程组仅有零解。
      向量语言与方程语言融合，给我们提供了新的讨论方法。最基本的一条是
            “ n 个 n 维向量线性相关的充分必要条件是，它们排成的行列式值为 0 ”
          例13     讨论 向量 α1 =（1，1，0），α2 =（1，3，－1），α3 =（5，3，t）的线性相关性。
      分析  三个三维向量线性相关的充分必要条件是，它们排成的三阶行列式值为0
              由此列方程可以计算得，当t=1时，三向量线性相关。当t ≠ 1时，三向量线性无关。
       3．线性方程组 A x = β  有解的等价条件
       对于一般的线性方程组 A x = β ，即   x1 a1+ x 2 a 2 +… + x n a n = β ，也有新说法：
           “线性方程组 A x = β  有解的充分必要条件是，向量 β 可以被 A 的列向量组线性表示。”
            比如，已知向量β可以被向量组 a1，a 2，a 3 线性表示为 β = a1 + 2a 2  ，如果有必要，我们可以说，已知表明，线性方程组 (a1，a2，a 3) x = β 有非零解 α = (1,2,0)ˊ
       4．正交概念与齐次线性方程组 Ax = 0 的解
       如果内积  αβˊ= 0 ，称向量 α 与 β 正交。在三维空间，正交就是垂直。在一般的 n 维空间，正交是垂直概念的推广。
       利用正交概念，可以给齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量一个新的含意：
       向量 α 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解向量的充分必要条件是，α 与 A 的每个行向量都正交。
       如果 a1，a2 是两个线性无关的3维向量，（即不平行。）在三维空间内思考齐次线性方程组 (a1，a2) x = 0 的解集，是一个很有趣的几何现象。两个互不平行的系数向量平行于同一平面，垂直于平面的每个向量，都是这个方程组的解。显然解集的秩为1 。
       向量内积满足交换律。如果 已知齐次线性方程组 Ax = 0 的 k 个解，β1，… ，βk   ，我们作新的齐次线性方程组（β1，… ，βk）x = 0 ，则原方程组的每个系数行向量转置为列向量，都是这个新方程组的解。

      例14  非零正交向量组 a1，a 2，---，a k 一定是线性无关组。
      分析 设有一组数  c1，c2，---，c k ，使得 c1a1 + c2a 2 + ---+ c k a k = 0
           （画外音：要记住这个“八股”开场白哦。）
       等式两端分别和 a1 作内积，得 c1a1•a1 = 0 ，只有 c1 = 0；如法炮制，得常数全为 0
          例15     设 n 维行向量组 a1，a 2，---，a k  线性无关，k＜n ，以它们为系数作有 k 个方程的齐次线性方程组。若向量 β 是这个方程组的非零解。试证向量组 a1，a 2，---，a k，β 线性无关。
       分析   设有一组数 c1，c2，---，c k，s，使得  c1a1+ c2a 2+ ---+ c k a k+ s β = 0
         β 是齐次线性方程组的非零解，它必与各系数行向量正交。
     等式两端分别和β作内积，得 sβ•β = 0 ，只有 s = 0 ；代回等式去，再利用已知线性无关性可得常数全为0
        *例15是原数学四的考题。它可以深化为，“……，若这个方程组有s个线性无关的非零解，k + s ＜ n ，则系数组与解组的合并组线性无关。”
         在高级语言中，把向量空间的最大无关组称为空间的坐标基。简称为基（或基底）。齐次线性方程组的基础解系就是其解向量空间的基。无论在理论上或应用中，往往需要选择两两正交，模长皆为1的基向量组。称为“标准正交基”。 《空解》背靠直角坐标系，以三个坐标轴方向的单位向量 i，j，k 为基向量组，给出了向量的坐标。i，j，k 就是三维向量空间的一组标准正交基。
      如果需要，可以用斯密特正交化方法，把已知的最大无关组改造为标准正交组。
     （画外音：教材上介绍的这个古典方法被专家们发现有数值不稳定性，已被改进。）
      斯密特正交化方法要点——不仿以改造三维向量空间里的线性无关组 α，β，γ 为例。
     （1）将 α 单位化。仍记为 α1
         （2）选 β1 = cα1 +β，用 β1 与 α1 正交的条件立方程确定 c ，最后单位化，记为 α2
         （画外音：这是在α，β所确定的二维子空间里挑选“替补队员”。）
     （3）选 γ1 = sα1 + tα2 + γ，用 γ1 与 α1，α2 正交的条件确定 s 及 t，最后单位化，记为 α3
           就这样，在研考范围内已经够用了。
      向量内积，贯穿《线性代数》全书。学在前列，很有必要。
      向量入门，《线代》入门。基本工具，无法回避。有志考研，愿君努力。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-18 08:40 编辑 ]

战地黄花

向量入门，《线代》入门。   
  向量内积，贯穿《线性代数》全书。学在前列，很有必要。

战地黄花

第一步：扎实读书，吃透概念。

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战地黄花

内积背景深。
能定义内积，就有“距离”与“逼近”。

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观念第一

战地黄花

系统不支持上下标,版式真难看.

战地黄花

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战地黄花

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