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线性代数第一章、行列式

思考与点拨

行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现。

一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题

1.行列式的计算题.例如：

计算行列式





计算行列式的值





这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决。

多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值。

(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化。

︳An×n  ︳是否为零，除直接计算出︳A ︳=O(或≠0)，或计算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n  ︳=0(≠0)⇔An×n不可逆(可逆)

⇔r(A)<n< span="">，不满秩(=n，满秩)

⇔An×n X=O有非零解(只有零解)

⇔An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)

⇔An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)

注意这些都是充分必要条件，可以相互判别。

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线性代数

第二章、矩阵

思考与点拨

矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的基础，考点较多，重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题，应注意到的大致有以下几部分内容.

1.基本运算：要搞清概念，熟练掌握运算规则并保证运算的正确性，重点关注以下几点。

(1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么.

(2)搞清数的运算、行列式的性质，与矩阵运算的区别.

(3)充分利用运算规则，如计算中结合律、分配律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律.




2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵。

求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特别适用二阶矩阵；(2)初等变换法.[A ︳B]→[E ︳A].对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，则A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩阵的乘积，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，则A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1.

证明A可逆的方法：

A可逆⇔︳A ︳≠0⇔AX=0有唯一零解⇔AX=b有唯一解⇔r(A)=n⇔A的行(列)向量组线性无关，或用反证法。




3.伴随矩阵A＊：理解伴随矩阵的概念，注意Ai j与A＊的联系，能熟练得出A，A-1，A＊，(A＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之间的关系，如

(1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1。

若公式中将A代入kA时，有

(kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=kn-1A＊；

若公式中将A代入A＊时，有

A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A.

A＊的秩只有n，1，0三种可能，且





4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简，又考查了具体的数值计算。解这类试题要求分二步走，“先化简”，写出所求矩阵的最简表达式，再代入具体的数值矩阵，进行数值运算(如题2.3)。

5.初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.1～2.3)理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求秩及逆矩阵的方法。

6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等。

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第三章、向量

思考与点拨

向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。

本章试题大致有以下四个部分:




1.向量的线性表出

向量β能否由向量组α1，α2，…αs，线性表出⇔方程组α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=An×s X=β是否有解，其解即是表出系数⇔r(A)和r(A︳β)是否相等。

若α1，α2，…αs线性无关，α1，α2，…αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…αs线性表出，且表出法唯一。

若α1，α2，…αs线性相关，则至少存在一个向量αi可由其余向量线性表出。

向量组(I) β1，β2，…βs中任一个向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs线性表出，称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，两组向量可以相Ⅰ互表出，则称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立。




2.向量组线性相关性的判别和证明

要说明或证明向量组α1，α2，…αs线性相关，只要求出(观察出)有不全为零的数k1，k2，…ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.即说明或证明方程组有k1α1+k2α2+…+ksαs=0有非零解。

证明一组向量α1，α2，…αs线性无关，有两类题型：(1)若题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，则应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)若已知一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，则可以用定义证明，也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明(例题2.5)。




3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩

应理解向量组的极大线性无关组的概念，并掌握其求法。





则向量组α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等价向量组，等价向量组等秩。

A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]，

则β1，β2，…βs与β1＇，β2＇，…βs＇中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性。向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩。




4.向量空间，要求了解向量空间、子空间、解空间，基、维数，坐标等概念，了解基变换公式、坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握施密特标准正交化方法，这部分内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标。

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第四章、线性方程组

思考与点拨

本章要求理解线性齐次方程组有非零解、唯一零解，线性非齐次方程组无解、唯一解、无穷多解的充分必要条件，理解线性齐次方程组的基础解系、通解、解空间的概念，掌握求解的方法，并会求解，理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念，并会求解。

本章试题大致有三种类型：

1.判别齐次方程组是否有非零解，非齐次方程组AX=b是否无解、唯一解、无穷多解Am×n X=O有非零解(唯一零解)⇔r(A)<n(=n) ⇔a<="" span="">的列向量组线性相关(线性无关)。

Am×n X=O无解⇔r(A)≠r[A ︳b].  

唯一解⇔r(A)=r[A ︳b]=n.

无穷多解⇔r(A)= r[A ︳b]=r<n< span="">.

当A是n×n矩阵时，还可用︳A ︳=O(或≠0)判别(例题1.1)，并说明解的几何意义。

判别某向量，或某向量集合是否是方程的解或方程组的通解，及两个方程组是否同解等(例题2.1)。

2.求解线性齐次方程组的基础解系和通解(例题3.5)，求解非齐次方程组的通解(例题3.6)(包括含有参数时，有解情况的讨论)，求解方程组时，请注意每个步骤的正确性.步骤如下：

(1)抄对系数矩阵或增广矩阵；

(2)正确进行初等行变换，含有参数时，要选择合适的消元的顺序；

(3)全面讨论参数的取值与解的关系；

(4)认定r(A)(即独立未知量，独立方程个数)，认定自由未知量，并赋予合适的特定值，回代方程，求得基础解系及齐次通解(或先求通解，后得基础解系)；

(5)求非齐次特解，解的结构，求出非齐次通解。

并应注意到方程组

Am×n X=[α1，α2，…αn]X=β

其齐次方程组的解是向量组α1，α2，…αn的线性相关的线性组合系数，非齐次特解(及通)是β由α1，α2，…αn线性表出的表出系数(例题3.3)。

当AB=0时，B的列向量是AX=0的解向量(例题3.6)。

3.证明某组向量是方程组的基础解系(例题3.1，3.2)。向量组α1，α2，…αs是方程组AX=0的基础解系要满足三条，①Aαi=0(i=1，2，3，…s)，②α1，α2，…αn线性无关，③s=n-r(A)。

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第五章、特征值、特征向量

思考与点拨

特征值、特征向量是线性代数的重要内容，是考研的重点之一。

共有三部分要求：

1.理解特征值、特征向量的概念和性质，会求矩阵An×n的特征值、特征向量，一般求An×n的特征值、特征向量有两条思路。

(1)利用定义，求满足定义Aξ=λξ(ξ≠0)的λ和ξ，一般适用于抽象矩阵。

若An×n有特征值λ，对应的特征向量为ξ，则利用定义可求得A2，Ak，f(A)是多项式)的特征值为λ2，λk，f(λ)当A可逆时，则A-1，A＊，…，对应的特征值为1/λ,︳A ︳/λ，…，(如题1.1)，特征向量仍是ξ。

(2)利用特征方程求︳λE－A︳=0，再由(λE－A )x=0求出基础解系得对应于λ的线性无关特征向量，一般适用于具体的数值矩阵。

显然对角阵，上、下三角阵的特征值为对角元素(特征向量是什么?).当r(A)=r<n< span="">时，A有特征值λ=0，对应的特征向量是AX=0的基础解系，故共有n－r(A)个线性无关特征向量，λ=O至少是n－r(A)重特征值，An×n中每行元素和为k时，则λ=k，对应的特征向量是ξ=[1，1，…1]T。(如题1.2)。

反之应会利用特征值、特征向量的定义，建立方程，来确定参数(如题3 1)。

关于特征值、特征向量还有许多性质，如，在计算行列式及求特征值时均可利用。

2.矩阵的相似对角化，理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角阵的方法。

应会用矩阵可相似对角化的充耍条件，讨论含参矩阵何时能相似对角化(如题3.6)，会利用相似的概念和性质来确定参数。

应会利用特征值、特征向量反求矩阵A，会利用相似对角阵，计算︳A ︳，An，Anβ等。

3.实对称矩阵的相似对角化：实对称阵特征值是实数，不同特征值对应的特征向量相互正交，实对称阵必存在可逆阵P，使得P-1AQ=Λ ，且存在正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ，即实对称阵必既相似于对角阵，又合同于对角阵。

用正交矩阵将实对称阵A相似对角化，要将特征向量标准正交化，不同特征值对应的特征向量已相互正交，对A的r重特征值对应的r个特征向量应用Schmidt正交化方法正交化(或求特征向量时，考虑到正交化)对实对称阵，还可用不同特征值对应的特征向量相互正交的性质，求特征向量。

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第六章、二次型

思考与点拨

二次型的试题，相对而言，出现的频率较低，一般来说，线性代数的两个大题中，般有个出自矩阵的特征值、特征向量或二次型这两章之中。

二次型的中心问题有两个：

1.化二次型为标准形规X形问题，大纲要求会用配方法和正交变换法化二次型为标准形、(正交变换只能化标准形)规X形(初等变换法不要求)，用矩阵的语言，实对称阵A合同于对角阵Λ，即求可逆阵C，使得CTAC=Λ，或求正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ的问题。

2.二次型(及对应矩阵A)的正定性的判别与证明的问题。

注意：

(1)在线性代数中研究二次型，首先要求将二次型表示成矩阵形式，即f(x1，x2，…xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=[x1，x2，…xn]T，这样A和f一一对应，r(A)=r(f)，A正定即f正定(见题3.4)。

(2)用正交变换只能化二次型为标准形，且其标准形的系数就是A的特征值(见题1.1，3.1).而正交变换矩阵由A的单位正交特征向量组成，即Q=[ξ10，ξ20，…ξn0]，其中

(3)对具体的数值二次型或实对称阵(或含有参数)，其正定性一般用顺序主子式大于零判别，当然也可化成标准形，f或A正定⇔正惯性指数=n(未知量的个数)，若f(x1，x2，…xn)已是正的平方和，则f(x1，x2，…xn)≥O，只需证明f=O⇔X=0，则X≠0，有f>0.即正定，二次型正定性的证明般用定理(正定的充分必要条件)，最后的办法是用定义。

(4)两个二次型(或实对称阵)合同⇔有相同的正、负惯性指数⇔相同的正惯性指数和秩

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概率论与数理统计

第一章、随机事件和概率

思考与点拨

本章的重点在事件的关系和运算，概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式、事件的独立性等。

近几年单独出本章的考题较少，但大多作为基本知识点出现在以后各章的考题中。

大多数考生对本章中的古典型概率感到困难．对古典型概率和几何型概率只要会计算一般难度的题型就可以，不必刻意去做各种较复杂的题型．因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点，应该将本章重点中有关的基本概念、基本理论和基本方法理解彻底和熟练掌握。

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第二章、随机变量及其分布

思考与点拨

本章的重点是随机变量及其分布函数的概念和性质，分布律和概率密度，随机变量的函数的分布，一些常见的分布：0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布等。

单独出本章考题的不多，近几年大多把本章的知识点结合多维随机变量及其分布的内容一起考查。

一些常见的分布从定义到有关特征必须背熟。这会给解题过程带来很大方便．对于分布函数，分布律和概率密度的定义及它们成立的充分必要条件必须掌握。至于求随机变量的函数的分布，只要记住步骤而不必去背一般公式。

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第三章、多维随机变量及其分布

思考与点拨

本章是概率论重点部分之一，尤其是二维随机变量及其分布的概念和性质，边缘分布、边缘密度、条件分布和条件密度，随机变量的独立性及不相关性，些常见的分布：二维均匀分布、二维正态分布，几个随机变量的简单函数的分布等都是这几年常考的内容。

在涉及二维离散型随机变量的题中，常常要考生自己建立分布；二维连续型随机变量往往要涉及二重积分，要求能熟练地应用二重积分和二次积分。

独立性及不相关性是一对重要概念，要掌握它们的关系及判定方法，特别是对二维正态分布及其参数做独立性和不相关性的判定。

对于二维均匀分布，密度函数是常数．如何判定该常数?以及在积分时如何利用这一特性?应予充分注意。

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第四章、随机变量的数字特征

思考与点拨

本章是概率论的重点．有相当多的考题涉及这章内容．每年都有考题要求随机变量的数字特征，包括数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数．所有这些数字特征都与求期望有关．它们都是随机变量函数的期望。

除了求一些给定随机变量的数学期望外，很多数学期望或方差的计算都与常用分布有关．应该牢记常用分布的参数和概率意义．有些常用分布的参数就是该随机变量的数学期望或方差．也应该会用数字特征的基本性质，会求一般随机变量函数的数学期望。

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