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808结构力学：位移法！

第六章 位移法

1.基本思路：

a.转角位移方程

b.基本体系法

2.基本未知量：

独立结点角位移+独立结点线位移（一定不要遗忘铰结点的线位移）

a.铰结点的角位移不作为基本未知量

b.刚度无穷大的梁端若不发生转角，则与刚度无穷大的杆相连的刚结点的转角也不取作基本未知量。（对刚度无穷大的结点位移，一般优先附加链杆）

c.独立结点线位移的确定：附加链杆法-在确定独立结点之后

d.角位移与线位移均不包括静定部分。一般将静定部分拆开，独立求解。

3.位移法方成绩解题步骤：P214于玲玲编参考书。注：一切计算均是在基本体系上进行。

4.对称性的利用：熟记对称结构去半结构的图。于玲玲编参考书P156

5.支座位移时的计算，基本未知力与基本方程以及做题步骤都与荷载作用时一样，不同的只有固端力。（运用形常数计算）

温度改变时的计算与支座位移时的计算基本相同。只有一点不同：除了杆件内外温度差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外，温度改变使杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。

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6.值得注意的问题：

a.在忽略轴向变形的情况下，当竖柱平行时，两端均与竖柱相连的横梁，无论是水平的还是倾斜的，其水平线位移均相同。
b.无M杆的灵活简化处理：（半铰悬臂；杆轴线与支座链杆方向重合）



c.斜刚架的计算：转角位移和侧移。
d.当有弹性支座和弹性结点时，基本未知量的确定：


e.有时超静定结构由连接的结点或链杆分成两个或两个以上部分，各部分可拆分成单独求解。
f.超静定斜杆的计算。（将荷载分解成垂直和平行于杆轴两个方向的力
g.剪力分配法与反弯点法：
若水平力未作用于柱顶，而是作用于柱中的某个部位，则参与分配的总剪力等于受荷载的柱在荷载作用下当柱顶无侧移时产生的柱端剪力。（在顶端加一链杆支座，支座反力；看做两个施力过程的叠加）


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808结构力学：渐进法及超静定力的影响线！

1.转动刚度：

使杆端产生单位角位移时，需要在该端施加或产生的力矩。

转动刚度的求法：在杆件近端施加一力矩M，求出该端的转角θ，则M/θ的值就是该端的转动刚度。

2.传递系数：远端弯矩与近端弯矩的比值。

3.力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法和位移法的基本理论一致：认为结构最后的内力状态是由荷载单独作用(此时不考虑结点位移，即把结点位移约束住)和结点位移单独作用下（放松约束，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。

4.几种情形下约束力矩：

a.带悬臂的结构；

b.结点有力矩的结构：第一次分配时直接分配；

c.连续梁有支座沉降时，由形常数计算固端弯矩，与荷载作用等效。

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808结构力学：渐进法及超静定力的影响线！5.杆端弯矩共分三种，分别是固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩，但固端弯矩和传递弯矩都是在结点被固定时发生的，只有分配弯矩是结点转动时产生的，故分配弯矩才会引起结点的转角。
用力矩分配法求某节点转角的一般方法是：
a.用该结点某杆的历次分配弯矩除以该杆端的转动刚度；
b.若只有一个转角未知量，也可以用结点约束力除以该结点杆的转动刚度之和。

6.无剪力分配法：
适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件等都是剪力静定杆件的情况，即适用于剪力静定柱结构。对于剪力静定柱结构，求解时只附加刚臂不加支杆。



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808结构力学：渐进法及超静定力的影响线！

7.远端约束越强，转动刚度越大。

8.超静定力的影响线：

对于静定结构的静力法和机动法，分别是：

a.列静力方程；

b.根据挠曲线的大致形状计算。

静定结构的力影响线是直线或折线，而超静定结构的力影响线是曲线。

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808结构力学：矩阵位移法！

1.基本思路：

a.先把结构离散成单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。

b.在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析，建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚度方阵，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。

2.单元刚度方程为单元的杆端力与杆端位移之间的关系式：

a.单元刚度矩阵是对称方阵；

b.几何不变体系的特殊单元刚度矩阵是奇异矩阵，不能有杆端力求杆端位移；

c.单元刚度矩阵中各元素的意义如下：

kij表示第j个杆端位移分量等于1时引起的第i个杆端力分量；

第i行元素的意义是当6个杆端位移分量分别等于1时，引起的第i个杆端力分量的值；

第j列元素的意义是当第j个杆端位移分量等于1时，引起的6个杆端力的值。

d.单元刚度矩阵只与单元的刚度和长度有关。

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808结构力学：矩阵位移法！

1.基本思路：
a.先把结构离散成单元进行分析，建立单元杆端力与杆端位移之间的关系。
b.在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析，建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚度方阵，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。

2.单元刚度方程为单元的杆端力与杆端位移之间的关系式：
a.单元刚度矩阵是对称方阵；
b.几何不变体系的特殊单元刚度矩阵是奇异矩阵，不能有杆端力求杆端位移；
c.单元刚度矩阵中各元素的意义如下：
kij表示第j个杆端位移分量等于1时引起的第i个杆端力分量；
第i行元素的意义是当6个杆端位移分量分别等于1时，引起的第i个杆端力分量的值；
第j列元素的意义是当第j个杆端位移分量等于1时，引起的6个杆端力的值。
d.单元刚度矩阵只与单元的刚度和长度有关。



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808结构力学：矩阵位移法！

3.坐标变换矩阵是一个正交矩阵

4.集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，又可分为后处理法和先处理法。
后处理法：按单元的节点编号，将单元刚度矩阵分为四个子块，逐块地将结点所对应的子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原始刚度矩阵，每个节点位移分量数为3的平面刚架，结构原始刚度矩阵的阶数为3n*3n.
先处理法：将单元刚度矩阵先按边界条件处理，即只取实际发生的结点位移为未知量，形成总刚过程中，引入定位向量。



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808结构力学：矩阵位移法！5.弹性支座的处理：
通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到约束处理后的刚度方程。

6．总刚度方程为整体结构的节点荷载与结点位移之间的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构，其总刚度方程都具有统一的形式：[K][△]={P}

7.关于总刚度矩阵[K]:先处理法与后处理法。
a.元素Kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为零时产生在△i方向的杆端力；
b.主子块[KII]是由结点i的相关单元中结点i相对应的主子块叠加而成。
c.当i,j为相关单元结点时，副主子块Kij就等于连接ij的杆单元中相应的子块；若i,j不相关，则Kij为零子块。
d.总刚度矩阵为对称矩阵。
e.总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。越是大型结构，带状分布规律越明显。
f.总刚度矩阵主对角元素都大于零。
相关单元：同交于一个结点的各杆件为该结点的相关单元。
相关结点：两个节点之间有杆件直接相连者为相关结点。




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808结构力学：矩阵位移法！

8.一些计算公式：（于玲玲编参考书P037-309）
（与坐标变换矩阵相乘时，注意结合线性代数的知识进行矩阵运算，提高运算速度。）

9.不需坐标变换的几种情况：
a.多跨连续梁。
b.只有转角未知量的杆件，无论局部坐标是否与整体坐标一致，都可以取2*2的特殊单元，且不需要坐标变换；
c.若单元的一端为固定端，无结点位移未知量，则可将该单元的[k]e取为3*3的特殊单元刚度矩阵，即划掉位移为零的一端对应的行和列，[T]也相应取为3*3的矩阵进行变换。（具体问题具体分析，不可生搬硬套）

10.矩形刚架忽略轴向变形时，形成整体刚度矩阵的简便方法：
a.建立局部坐标时，每一单元杆件的局部坐标体系下，侧向位移V和转角位移θ的方向与结构坐标系（总体坐标系）。（顺时针坐标系和逆时针坐标系不同）。
b.将局部坐标系的单元刚度矩阵划去轴向变形相应的行与列。
c.此时局部坐标系的杆端位移与整体坐标系的杆端位移一致，可直接由单元刚度矩阵进行定位与集成。



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