问个数一和数二中线性代数的问题

lanHY

关于2010年数一和2010年数二题目解法的区别
数学一的时候直接利用正交得出了两个特征向量。而数二却说这样做是不对的。可能是我比较愚钝，我不知道他是怎么弄的

lanHY

数一的时候出来的两个向量恰好是正交的？不只是巧合还是必然？数二出来的两个向量不是正交的，解出来的是（-1,0，1）另一个是（-2,1,0）。对于这两个向量选择将第二个斯密特正交化，恰能得到正确答案，选择把第一个正交化，则答案错误，不知又是必然还是偶然？
最核心的问题，数一那么做有什么理论依据？或者说有什么条件保证这两个一定是特征值1的特征向量？难道是验证过了？没求出A前如何验证？数二这个因为能够先求出A，我能验证（-2,1,0）确实不是特征向量。

lanHY

求大家解答一下 啊，怎么没人回复啊，难道是太简单了么？万望指点迷津

石俊豪

哈...辛苦楼主居然大老远发信息叫我围观 呵呵
大致看了一下 总结一句话给你听
对于实对称矩阵而言
1 不同特征值对应的特征向量必然相互正交
2 但相互正交的特征向量未必对应不同的特征值
我想2这句话你从数一的那道题里面也能看出来
我就不多说啦 呵呵~{:soso_e103:}

lanHY

石俊豪 发表于 2012-11-6 16:16
哈...辛苦楼主居然大老远发信息叫我围观 呵呵
大致看了一下 总结一句话给你听
对于实对称矩阵而言

呵呵，辛苦捧场，这两句话我是理解。但是数一那道题他也没说明为啥那两个特征向量就是对应于1的了事实上我觉得没人告诉他那就是特征向量啊。数二里面那样求出来的就有一个不是特征向量

石俊豪

lanHY 发表于 2012-11-6 16:39
呵呵，辛苦捧场，这两句话我是理解。但是数一那道题他也没说明为啥那两个特征向量就是对应于1的了事实上 ...

因为他求出的两个向量都符合两个条件
1 Aα=

λα

2 求出的α和原来提供的特征向量都正交

所以才可以这么取

lanHY

石俊豪 发表于 2012-11-6 17:33
因为他求出的两个向量都符合两个条件
1 Aα=λα
2 求出的α和原来提供的特征向量都正交[/ba ...

就是这一点让我疑惑，没求之前，他怎么知道满足的……

lanHY

石俊豪 发表于 2012-11-6 17:33
因为他求出的两个向量都符合两个条件
1 Aα=λα
2 求出的α和原来提供的特征向量都正交[/ba ...

而且数一这种类型的题目我印象中11年考过  07 年也考过，做法都是直接由方程解的。而它从来都没有验证过，虽然确实满足。但是按道理他必须作出说明才对啊

draco02

数一列出了对角矩阵，就是特征值。也就是1,1,0为三个特征值，对应的特征向量正交，数二那题没直接给出特征值，需要先求特征值，然后再算对应特征向量，然后还要正交化，你应该是概念理解有点模糊，看看李永乐叫二次型的视频吧，讲的很透

lanHY

draco02 发表于 2012-11-6 19:15
数一列出了对角矩阵，就是特征值。也就是1,1,0为三个特征值，对应的特征向量正交，数二那题没直接给出特征 ...

那我可否理解为当我做数二那道题求出了三个特征值后，就可以再次用数一的那种方法了呢？因为我觉得这并没有本质的区别啊。数一给了三个特征值。而数二的我可以求出三个特征值，不是又化归到数一的那种题目类型了么？比如我换个题，我说某个二次型满足2(y1)^2-4(y2)^2+5(y3)^2,且其正交阵的第一列为……等等等等，那是不是我又可以按数一的做法做了呢？