请教：如果f(x)存在原函数、且f(x)可积

astero

请教：如果f(x)存在原函数、且f(x)可积
是否可以推出f(x)必然连续、其原函数也必然连续？

是否可以说：
“连续”这个集合C，刚好是“存在原函数”A 和“可积”B的交集？

scl1989

不是这样的
参考
http://bbs.kaoyan.com/t3345693p1

scl1989

一个函数的原函数存在则原函数必然连续，它本身不一定，即使可积同时成立

fsf

怎么感觉你的知识很混乱啊！！！你都现在11月份了怎么还问这种基础问题呀？？？

lyb3233615

可积和存在原函数没有关系……可积推不出有原函数…原函数也推不出可积

astero

见笑了 毕业4年了 9月才开始看的

astero

scl1989，你好！

我看了你链接的那个帖子，
“一个函数连续那么其导函数不一定连续，若导函数间断那么间断点只能是第二类非无穷间断”
------也就是说必是振荡间断、不是无穷间断？

但是：
李永乐400题P101页举了一个【无穷振荡】的例子，就是你那个式子里面把sin里面那个x上面再加个平方：
f(x) = x^2 / sin(1/x^2) (x不=0)，=0 (x=0)
其导函数是：2xsin(1/x^2) - 2/xcos(1/x^2)  (x不=0)，=0 (x=0)
这个导函数当x=1 / (nπ)^1/2（nπ开根） 时，= ( -1 )^(n+1) * 2 * (nπ)^1/2，当n->无穷时(此时x->0)，是无穷间断点-------------这样的话你那个结论是不是应该改成：导函数的间断点只能是 【振荡间断】或【无穷间断】？？？？
李永乐的结论就是这里原函数f(x)连续且可导，但是其导函数却不可积，其导函数在-1到1上的定积分不存在

但是他没提到：即使函数可积，并有原函数，能不能保证其连续的问题，我之前想问的就是这一点。
但看了你举得那个例子，确实是不能保证的！

[ 本帖最后由 astero 于 2010-11-2 13:06 编辑 ]

scl1989

那个不是无穷间断点吧，无穷间断点的定义是在某点左极限或者右极限是无穷，你的左极限和右极限都不存在，不能说是无穷间断点

astero

是无穷：
不是x=0点，是当 x = 1 / (nπ)^1/2（nπ开根的倒数） 时：
导函数= ( -1 )^(n+1) * 2 * (nπ)^1/2-------》导函数是趋于无穷的（n偶趋于负无穷、n奇趋于正无穷）
也就是说当x-->0的过程中，又当x=上述值的时候，导函数的值是正负无穷的

scl1989

注意极限和无穷间断点的定义和联系，无穷间断点要求的是左或右极限为无穷，所要求的是无论什么方式函数的左或右极限都趋近于无穷，而你限制了x趋近的方式，考虑sin1/x^2以0的方式时极限又为0了，所以整体来看这个函数在0点不是无穷间断点，比如sin1/x按一定方式会趋近0，你还能它说极限是0