BA=E推出AB=E

gaussrieman · 发表于 2010-7-20 16:02

在某国教材中定义矩阵的逆与我国现行教材不同
某国定义中仅有 AB=E，则称B为A的逆矩阵
我国教材 AB=BA=E，则称B为A的逆矩阵
试证明两种定义等价

gaussrieman · 发表于 2010-7-20 16:03

补充：A,B均为方阵

dongdongh · 发表于 2010-7-20 19:26

貌似线代书里有，主要是用到利用伴随矩阵构造逆矩阵相关的一个结论：可逆iff行列式不为零什么的

哥是经验帝 · 发表于 2010-7-20 19:51

AB=E
那么A，B都是可逆的
在AB 的左边乘个A的逆，右边乘个A，不就得出来BA=E了吗

alin4187 · 发表于 2010-7-20 21:06

[em:42]

邵永胜 · 发表于 2010-7-20 23:20

第二个式子不就是说AB=E,则AB互为逆矩阵嘛

gaussrieman · 发表于 2010-7-21 08:25

原帖由 哥是经验帝 于 2010-7-20 19:51 发表
AB=E
那么A，B都是可逆的
在AB 的左边乘个A的逆，右边乘个A，不就得出来BA=E了吗

A
我向你证明的是第一种定义，AB=E，为什么A，B可逆呢？这是理论的基础问题，不是习题

gaussrieman · 发表于 2010-7-21 08:31

你说的算是一种途径，伴随矩阵构造是一种方法。
AB=E
AC=E （C为A的伴随除以A的行列式） CA=E

A（B-C)=0
A 满秩。这里主要是列满秩. 则B=C
注意这里没有使用任何关于可逆矩阵的观念
当然这里主要是些理论的基础问题：即矩阵理论没有必要必须有可逆的观念

dongdongh · 发表于 2010-7-21 10:33

原帖由 gaussrieman 于 2010-7-21 08:31 发表
你说的算是一种途径，伴随矩阵构造是一种方法。
AB=E
AC=E （C为A的伴随除以A的行列式） CA=E

A（B-C)=0
A 满秩。这里主要是列满秩. 则B=C
注意这里没有使用任何关于可逆矩阵的观念
当然这里主要是些理论的基础问题：即矩阵 ...

按照你的手法，也可以这样证：
设BA=D，此时有
A=EA=（AB）A=A（BA）=AD
A（E-D)=0
E=D，因此
BA=E。
这样就连伴随矩阵都没有用到了

95159793 · 发表于 2010-7-21 11:42

有个定理，你往后翻几页，李永乐说，因为那个定理，证一个就可以了

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