BA=E推出AB=E

gaussrieman

不错，那个证法是你说了句，我随手写的。
我之前的想法是
AB=E
令BX=E，rank（B）=rank(B,E)
所以矩阵方程BX=E有解
不妨设为D
BD=E
AB=E  ABD=D
BD=E ABD=A
A=D
证毕

战地黄花

线性理论的核心是齐次组解集理论。
    由 AB = E 能得到什么信息？
         —→ A 与 B 皆满秩
         —→ 以A为主体说话，A的行向量组线性无关。B是A的“右逆”
      你还能细化吗？这才是竞争力优势的体现！！！！！！！！！（这是“构造法”的思路。）
         —→ A的第一行 与 B的第一列α 的内积为1
                —→  A的其它行 与 B的第一列α的内积都为 0
      这就上了线性理论的高速路。
         —→ B的第一列是齐次线性方程组 Qx = 0 的解向量。
    Q 是 A 划去第一行以后得到的矩阵。它的秩 r（Q）= n-1，它的解向量集的秩 =1
    （潜台词：不会用核心恒等式，等于没学《线性代数》）
    由行列式展开定理知，A的第1行元素的代数余子式组成的向量ξ ，与其它各行都正交。因而它就是方程组Qx = 0的一个非零解向量。可以作基础解系。
    这样一来，α=cξ
       但是，由行列式展开定理知，A的第1行 与 ξ 的内积等于 |A|
    而由已知，A的第一行 与 B的第一列 α = cξ  的内积为 1
       只有 c = 1 /|A| ，即 α = ξ / |A|
       下面该你来学着说：—→ A 的第二行 与 B的第二列的内积为1
                                       —→ A 的其它行 与B的第二列 的内积都为0
       ………………………………………………………………………………
       一直说下去。
    最后得到结论B= A* ∕|A| ，自然就可以核算BA=E ，右逆也是左逆！！！！

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-7-22 01:21 编辑 ]

dounaiman

原帖由 gaussrieman 于 2010-7-21 08:25 发表
A
我向你证明的是第一种定义，AB=E，为什么A，B可逆呢？这是理论的基础问题，不是习题

书上的例题呀。
只要A或B为方阵，2种定义即等价
证：
因为A为方阵
且AB=E
故|A| |B| =1
也即A,B均可逆。设A的逆矩阵为A-
则A-AB=A-
得B=A-
也就是B即为A的逆矩阵。。。。。。。。

[ 本帖最后由 dounaiman 于 2010-7-22 09:08 编辑 ]

战地黄花

作题的第一目是掌握知识.收获在回味之中.
知识含金量高的回路,花点时间很值得.