请问:二维向量的向量积怎么求~~

tulipsfield

三维的我懂,可是二维不懂
比如两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)
单位向量是i,j
那么a向量乘b的结果怎么表示

ivan.luck

朋友 这是我的运算结果,你先看看,有问题在提出来我们在商量!



设a和b的夹角是 α，则cosα=(a.b)/(|a|.|b|),即可求出正弦值sinα=√1-cos2α.

首先求出cosα=(x1.x2+y1.y2)/ √x21+y21.√x22+y22.,
因此有sinα=√1-cos2α
=
√((x1y2)2+(x2y1)2-2x1x2y1y2)/√x21+y21.√x22+y22., ①
接着我们有:
   aⅹb=(x1,y1)iⅹ(x2,y2)j
=x1x2(iⅹi)+x1y2(iⅹj)+y1x2(jⅹi)+y1y2(jⅹj)
=0+(x1y2-x2y1)(iⅹj)+0
=(x1y2-x2y1)|i|.|j|sinα②
将①代入②即得结果:
  aⅹb
=( x1y2-x2y1).( √((x1y2)2+(x2y1)2-2x1x2y1y2)/√x21+y21.√x22+y22)③
③是应该是最终的结果!
符号说明 :√开平方根。后面的算是又带着的大括弧呢!仔细看,数学符号不好表达....
        凡是向量都没有 箭头,黑体字加粗!


另外就是 平方的表示 例如 :
cos2a 是指的cosa的平方。x22,y22,x21,y21 也是一样的。希望不要看错!


※ 编辑：ivan.luck 于2009-4-21 00:35 编辑本文

tulipsfield

好谢谢你呀,我在看。。

Lotus_lover

我晕,2楼有必要弄得这么复杂?二维不是三维的特例?只要再加上一个维度就好,平面上的向量a(x1,y1),b(x2,y2),在空间中可写成a(x1,y1,0),b(x2,y2,0)。弄个三阶行列式出来,算得a与b的向量积=(x1y2-x2y1)k.

tulipsfield

原帖由 Lotus_lover 于 2009-4-22 20:47 发表
我晕,2楼有必要弄得这么复杂?二维不是三维的特例?只要再加上一个维度就好,平面上的向量a(x1,y1),b(x2,y2),在空间中可写成a(x1,y1,0),b(x2,y2,0)。弄个三阶行列式出来,算得a与b的向量积=(x1y2-x2y1)k. ...

可是这个结果中的k代表什么呢,这是二维空间,我们不能再造出来一个第三维空间的单位向量吧。。

tulipsfield

原帖由 Lotus_lover 于 2009-4-22 20:47 发表
我晕,2楼有必要弄得这么复杂?二维不是三维的特例?只要再加上一个维度就好,平面上的向量a(x1,y1),b(x2,y2),在空间中可写成a(x1,y1,0),b(x2,y2,0)。弄个三阶行列式出来,算得a与b的向量积=(x1y2-x2y1)k. ...

可是这个结果中的k代表什么呢,这是二维空间,我们不能再造出来一个第三维空间的单位向量吧。。

tulipsfield

原帖由 Lotus_lover 于 2009-4-22 20:47 发表
我晕,2楼有必要弄得这么复杂?二维不是三维的特例?只要再加上一个维度就好,平面上的向量a(x1,y1),b(x2,y2),在空间中可写成a(x1,y1,0),b(x2,y2,0)。弄个三阶行列式出来,算得a与b的向量积=(x1y2-x2y1)k. ...

可是这个结果中的k代表什么呢,这是二维空间,我们不能再造出来一个第三维空间的单位向量吧。。

tulipsfield

对不起,浏览器出了点问题,回复了三遍!!!!

Lotus_lover

k=(0,0,1).什么不能造出第三维空间的单位向量?在定义a与b的向量积时,a与b的向量积的方向本身就是定义为:与a、b构成的平面垂直,且符合右手法则。所以a与b的向量积这个向量不可能还在a、b构成的平面中。如果不能造出第三维空间的单位向量,你这个问题本身就不存在答案了!

robertchao

厉害啊，都乃猛人也~