线性代数学习的核心——从鸡兔同笼到线性方程组

开开鱼68

鸡兔同笼问题流传了一些很有意思的解法，让我们暂且远离考研，品味一下小学数学的趣味：鸡兔同笼，头 20，腿 50，问鸡兔各几？
假设鸡兔训练有素，吹哨则抬腿，那么一声哨响，20 条腿抬起，又一声哨响，20 条腿抬起，只有 2 只脚的可怜的鸡们，已经一屁股坐地上、两脚朝天了，地上还剩余的 10 条腿，
全是兔子的，故 5 只兔子，另有 15 只鸡。
比起这个萌系的方法，孙子算经就比较残忍了，屠夫刷刷 25 刀，把每只鸡和兔子的腿
都砍掉了一半，独脚鸡和双腿兔当然还是 20 个头，腿却只有 25 个了，独脚鸡一个脑袋一条
腿，一样多，每只双腿兔却是 2 条腿 1 个兔头，腿比头多 1，那么自然有 5 只兔子。其他方法，不一一列举了。

笔者曾在网上见过一些段子，往往鼓吹这类巧解、妙解，甚至加上一些“目瞪口呆的老师”“大惊失色的博士”作为陪衬，其实，这些巧妙的流程，都是方程组加减消元罢了，配上一套更容易被小学生理解的流程。
x  y  20
我们可以用二元一次方程组解解看：设鸡 x 只，兔 y 只，则有2x  4 y  50 ，再回头
审视，吹哨抬脚法，无外乎是用第二个方程，减去第一个方程，再减去第一个方程，化简为
x  y  20
2 y  10 ，算出 5 只兔子；残忍的砍脚法，其实就是第二个方程除以 2，得到x  2 y  25 ，
然后第二个方程减去第一个，算出 y  5 。看到了吗？各类巧妙解法，其实都是解方程组消元过程的等价描述。
追求精致而不求普适，其实是与数学思维背道而驰的，数学是高度抽象的，小时候思维能力不足时，也无妨在巧妙解法中体会数学之趣，但也要在普适解法中领略数学之美、之深刻，这才是奥数教育的真谛，沉迷于前者而否认后者，是走了邪路。

回到考研数学，当你需要面对研究生入学考试这个级别的筛选时，核心思维就是沿着刚才的路，再向前迈一步：进一步的抽象化，进一步寻找等价描述。这是线性代数的核心思维。比如，既然方程组加减消元时只有系数改变，省略未知数符号 xy 可不可以？当然可以。

x  y  20

写成1        1 20 ，则1        1 20  1        1 20  1    1 20  1        0 15

2x  4 y  50        2        4 50        2        4 50        1        2 25        0   1  5         0        1  5 
                                                                                
就是小学时“残忍的砍脚法”的化简流程，也是中学时的加减消元法，如果你已经复习线性代数，就会认出这是对增广矩阵做初等行变换。线性代数的发端，本就是源自解方程组。
方程组既有代数形式，也有矩阵形式，还有向量形式。我们继续找等价描述，这个方程

1 1

20

1

组还可以看成，如何用二维列向量2，   线性表示向量         ，不信我们假设 x 个   和

  4

50

2



1

20

1        1        20

x  y  20

y 个4 就是50 ，列成式子不就是 x 2  y 4  50 ，即2x  4 y  50 ，这又是一

                  
种等价描述。

                                    


不同角度的描述有什么意义吗？随着大家的深入复习，你会发现，有些角度，某些命题是显而易见的，但换个角度却晦涩不清，比如，矩阵 A 及其转置矩阵 AT 的秩相等，并且与
AT A 的秩， AAT 的秩都相等，如果大家用第二章矩阵的秩的原始定义去思考，毫无头绪， 但如果利用线性方程组的角度，则是非常简单的；再比如两个同型矩阵 A, B 的秩满足关系式 r(A)  r(B)  r(A  B) ，换到向量角度，就是个一目了然的结论。

线性代数知识结构异常紧密，考研中的线性代数试题，逻辑推导链条往往不长，与非常考较思维深度的高等数学不同，它更注重思维角度，找准突破口，这就需要考生全面深刻的理解线性代数的各个概念、性质、定理，尤其是他们之间的关系和等价表述，建立完整、清晰的知识体系。线性代数，一处不通，处处不通，第一轮复习时，对新手异常不友好，但坚持努力，百脉具通那一刻，会发现，原来线代如小溪般清澈见底。