辅助函数

soheo12 · 发表于 2015-9-15 22:32

想问问这个怎么来的？

三峡大学考研 · 发表于 2015-9-15 23:35

其实由题目欲证结论的特点：两个不同点的导数值，可以得知，该结论是由两次拉氏定理得到的结果，并且两次区间应该不同，用来保证两个中值点不同。
而欲证结论同时对于两个中值点来说具有对称性，即两中值结论中地位一样，应该不存在应用定理的先后问题，所以考虑是一个分割点将区间分为两部分，然后对f(x)分别应用定理所得。
如此不妨设该点为点c，函数值f(c)。该点显然不是任意点，那么该满足什么条件呢？不妨带入结论中求。
将f`()=[f(c)-f(0)]/c=f(c)/c，f`()=[f(1)-f(c)]/(1-c)带入结论中，可发现c被消掉了，f(c)=a/(a+b)，由介值定理这样的点一定存在，所以说该思路成功，可以证出。
中值定理应用时的要素总共三个，条件有两个，1是区间，2是函数；结论要素有一个，产生一个导数项的中值（拉氏定理产生一个函数的中值，柯西定理产生两个函数比的中值）。先看结论中值点的特点分析用了什么定理几次，再根据结论考虑是否需要构造辅助函数，再看应用区间。本题其实主要考察的是区间的确定，欲证结论与端点的联系紧密，而与原来函数的关联简单，所以重点在如何分区间。

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