关于正定性的题

飞着跳啊跑 · 发表于 2015-9-1 10:30

张辉李雪发表于 2015-8-31 23:11
大于的时候是线性相关的

谢谢

ENDBEN · 发表于 2015-9-1 11:01

飞着跳啊跑发表于 2015-9-1 10:29
额。。请问为什么线性相关就不正定，线性无关就必正定呢？

因为线性相关的话就存在非零向量使得ax=0，进而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根据正定的定义所以b不正定，线性无关的话就看我上面那个回答。

comhyy · 发表于 2015-9-1 12:57

ENDBEN 发表于 2015-9-1 11:01
因为线性相关的话就存在非零向量使得ax=0，进而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根据正定的定义所以b不正定 ...

方阵才有这个性质吧，这个只能说明列向量是线性相关。
B是 s*s方阵，s大于n的话秩必定小于n，因此B行列式为0，必定不正定

comhyy · 发表于 2015-9-1 13:00

comhyy 发表于 2015-9-1 12:57
方阵才有这个性质吧，这个只能说明列向量是线性相关。
B是 s*s方阵，s大于n的话秩必定小于n，因此B行列 ...

B=A*AT 的秩小于A的秩，所以B的秩小于n
当s大于n时，B的行列式为0，存在特征值0，不正定。

comhyy · 发表于 2015-9-1 13:16

A矩阵是 n*s矩阵，当s小于等于n的时候，秩等于s.
方程AX=0的基础解个数 n-s大于0，因此必有非0解。同2楼，正定。

ENDBEN · 发表于 2015-9-1 13:18

comhyy 发表于 2015-9-1 12:57
方阵才有这个性质吧，这个只能说明列向量是线性相关。
B是 s*s方阵，s大于n的话秩必定小于n，因此B行列 ...

方不方阵都一样，只要矩阵列向量线性相关，ax=0必有非零解。

飞着跳啊跑 · 发表于 2015-9-1 13:27

ENDBEN 发表于 2015-9-1 11:01
因为线性相关的话就存在非零向量使得ax=0，进而存在非零向量使得x^Ta^Tax=0，根据正定的定义所以b不正定 ...

懂了谢谢！

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