请问，泰勒级数和泰勒公式的联系和区别

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二者能划等号吗

Cicida

1，有限和无限形式的区别
2，泰勒公式是一种不完整的表示一个函数，而泰勒级数是一种完整的表示一个函数
3，泰勒公式要求n+1阶可导，泰勒级数要求无穷阶可导
4，误差估计不同

涂鸦哥

Cicida 发表于 2012-9-10 19:46
1，有限和无限形式的区别
2，泰勒公式是一种不完整的表示一个函数，而泰勒级数是一种完整的表示一个函数
3 ...

真专业，c哥威武

morinio

我是这么理解的。泰勒公式分皮亚诺余项和拉格朗日余项两种。泰勒公式和泰勒级数的区别正如2l所说的前三点：
1，有限和无限形式的区别
2，泰勒公式是一种不完整的表示一个函数，而泰勒级数是一种完整的表示一个函数（这一点没大看明白，姑且认为对吧）
3，泰勒公式要求n+1阶可导，泰勒级数要求无穷阶可导
我觉得泰勒级数和泰勒公式都没有误差，都能在其各自定义域上完完全全表示出函数的数值。这是因为泰勒公式跟工科工程上常用的牛顿拉夫逊法（我知道不同学科，但我觉得它俩不是一般的有爱）异曲同工，同出而异名，在整个定义域上如果不完全重合的话，牛顿拉夫逊法就错了。我是这么理解的，严格的数学证明我不会。
讨论一个函数，第一步是要找到定义域（高考过的都知道），拉格朗日余项的定义域跟泰勒级数相同，都是个区间（可以是整个实数域）。但皮亚诺余项的泰勒公式就不同了，定义域仅仅限于x趋向于x1的时候。
比方说f（x）=sinx（不单调），在x1点展开了，问你x2的时候取何值。1.拉格朗日余项。在整个实数域上，你直接算f（x）跟你用泰勒公式算一样（当然这只是假设，别当真，因为没人知道西塔取何值），两者完全重合。2.泰勒级数。同上，在整个实数域上，你直接算f（x）跟你用泰勒级数算一样（当然这只是假设，别当真，因为泰勒级数无穷，你一辈子也只是在接近，不能完全等于，一辈子也算不完），两者完全重合。3.皮亚诺余项。仅仅在x1无限小的邻域内，两者完全重合，出了这个圈就白搭了，一阶展开的话，两者相切，二阶展开的话，二者相切且曲率同，and so on。
两个余项的泰勒公式的区别就是定义域的区别。
我做400题的时候，许多函数证明题都往上用了皮亚诺余项的泰勒公式。一看答案，发现答案都不是这么做的，这样做的话，一般是比答案简单，我当时误以为我比答案还牛逼。刚刚这几天我才突然觉得，是我错了。要不然，这么牛叉一公式，不可能李永乐老不用吧。所以这些证明题基本都可以用拉格朗日余项的泰勒公式，这样证明时候相对复杂了一点。还是答案的方法简便。
今天想在网上查查是不是我想的这样，发现没一个考研论坛回答了这个问题。也找不到数学老师问问，所以这都是我瞎猜的。我姑妄言之，如果有不对的地方，还麻烦指正。

再见abide

morinio 发表于 2012-11-13 20:14
我是这么理解的。泰勒公式分皮亚诺余项和拉格朗日余项两种。泰勒公式和泰勒级数的区别正如2l所说的前三点： ...

在一点展开皮亚诺，区间展开拉格朗日