关于原函数与导函数关系的疑问

杜云乡

小弟是彩笔···

y是分段函数 在x不等于0时y是x平方乘以sin（1/x）在x等于0的时候y是0

这个函数很常见，在定义域内是连续可导的

他的导函数，在x=0处为什么是不连续的呢？虽然我自己可以证明是不连续的，但是我从概念以及图像上去理解却想不通：既然y在x=0处可导（求出后为0），根据充要条件可知在0处左导数右导数都得0，是存在的，但对于导函数来说，在x趋于0+与0-时却是不存在，这是为什么？

zhcosin

你求出来看看不就知道了？
在x=0处，用导数定义可以求出该点导数为0
在其他地方，直接对表达式求导可以看出，导函数在x=0处是无极限（无穷次振荡），所以导函数在x=0处不连续。

杜云乡

zhcosin 发表于 2012-8-9 14:10
你求出来看看不就知道了？
在x=0处，用导数定义可以求出该点导数为0
在其他地方，直接对表达式求导可以看出 ...

我的问题是，为什么我已经求出x=0出导数为0，也就是此时导函数在这点应该是有意义的而且取值应该为0，但我分析导函数的时候却发现该点的取值是不存在的？

杜云乡

电动蜗牛 发表于 2012-8-9 15:55
可导必连续，但是你无法说一个函数连续就说他的导函数一定连续，你没有依据的。 ...

我的问题不是原函数可导与导函数连续的关系，我知道他们没有关系，我的问题是，我通过对原函数在x=0处用定义求导，得到了在该点的导数值，为什么导函数在该点却不存在呢？这是不是矛盾呢，还是我哪里搞错了

我的意思是我从一个途径得知这个东西是存在的，但又从另一个途径得知他是不存在的，所以我很纠结

蓝色追梦

宝贝 分段函数.....

zhcosin

杜云乡 发表于 2012-8-9 21:01
我的问题不是原函数可导与导函数连续的关系，我知道他们没有关系，我的问题是，我通过对原函数在x=0处用 ...

你别忘了你求那个导是在x不等于0的时候求的，当然不能应用到x=0处的情况。

二十七度三

杜云乡 发表于 2012-8-9 14:31
我的问题是，为什么我已经求出x=0出导数为0，也就是此时导函数在这点应该是有意义的而且取值应该为0，但 ...

兄台现在明白了没！你想想啊，当一个分段函数，是第一类间断点时，原函数存在且连续。而当是第二类间断点时，原函数也存在，但是导函数，也就是这个分段函数是第二类间断点，所以没有意义

nihao19831123

杜云乡 发表于 2012-8-9 21:01
我的问题不是原函数可导与导函数连续的关系，我知道他们没有关系，我的问题是，我通过对原函数在x=0处用 ...

看了楼主的帖子，感觉楼主应该是：某点的导数和导数的极限两个概念没有区分。f‘（x0）和在x->x0时limf（x），这是两个概念，不一定相等的。相等的话，就说明导函数在x0点连续了。知道你在做660题，后面很多这种区分两个概念的题目，讲的很清楚。