牛人和熊人都进来看一下吧：二维向量空间R2和R3的2维子空间

gzxdrky

如图：

以两个线性无关的三维向量和作为基，生成的2维子空间可以看作三维直角坐标系中，和共同所在的那个平面V。

问题来了：这个三维向量空间R3的2维子空间V和二维向量空间R2是一回事吗？如果不是，那它们之间有何区别？

我个人觉得它们之间是不同的。因为R2根本不是R3的子集：R3中的向量（包括和）有3个分量，R2中的向量只有两个分量。请问我这样理解是对的吗？如果是对的，那未免也太让人头疼了——“R3的2维子空间V与二维向量空间R2不是一回事”，那它们到底有何区别呢？如果我的理解错误，那错在哪里呢？

数学基础比较差，还望各位达人赐教！万分感谢！

xjtulx

从很大程度上就是一回事啊

还是不理解楼主的想法。

gzxdrky

xjtulx 发表于 2012-4-29 19:38
从很大程度上就是一回事啊

还是不理解楼主的想法。

————《线性代数及其应用》 David C.Lay    机械工业出版社 193页


按这个说法，貌似它们是不同的？

xjtulx

你学得挺深的。我觉得可能是这样理解的
R2中的元素（即各个向量）是(a,b)，R3中的元素（即各向量）是(a,b,c)，所以从这个理解上，R2不是R3的子集。
对于R3中的子空间 的元素可能是(a,b,0)类型的，或者(a,b,a-b)等等，尽管可能是两个自由度，但是每个元素是3个分量。
所以R3中的子空间不是R2。

xjtulx

通俗点说就是
三维空间的每个向量都是有3个分量的，它的子空间中的向量尽管可能只有两个分量独立，第3个分量为0或其他两个分量的函数式。
但是二维空间每个向量都是只有2个分量，向量的结构都不一样，当然不可能是三维空间的子空间。


比如xyz三维坐标系中，XOY平面上的点都是(x,y,0)，但是这些点组成的子空间和二维坐标系中的(x,y)就是不一样，因为它们的坐标结构都不同。

luckystar0

小女子顶礼膜拜之~~~

wwj511576412

如果考研不考，讨论还有没有意义呢

最后的琥珀色

楼主你好，

首先，R2与三维空间中的二维子空间是不同的。

R3中的二维子空间一般称为R3中的二维超平面，就像你说的，这个子空间中的每个向量都有三个分量，而R2中的每个向量只有一个分量。我们怎么判断一个空间是多少维的呢？通过看这个空间的基是由多少个向量组成的。

R3中二维超平面就是三维空间中过原点的一个平面而已，当然了，两个线性无关的向量就可以确定一个平面，因此这个空间的基只有两个向量，这个空间是二维的。

R2是一个向量空间，不是任何其他向量空间的子空间。所谓子空间，就是向量空间中的向量空间，通过从母空间中取部分向量来构造子空间。我们经常不需要用到整个母空间，只需要研究子空间。

同样的，R3中过原点的直线是R3的一维子空间，但他和R是不同的

维数都是2，只能说明，这两个空间的 基 都只有两个向量。

最后的琥珀色

wwj511576412 发表于 2012-4-30 12:13
如果考研不考，讨论还有没有意义呢

业余爱好{:soso_e113:}

最后的琥珀色

楼主很明智啊，没有看国内的线性代数书！ 我觉得线性代数的应用范围和重要性不亚于微积分，而同济大学那本垃圾线性代数却作为那么多高校的指定用书。