有意思（25）混合型背景下的 Z = f (X，Y) 的分布函数

战地黄花

              定义是最基本的游戏规，是逻辑推理的出发点。是应对问题的法宝。

              对于二维随机向量（X，Y），大学数学教材给出分布函数的定义后，再给出二维离散型随机变量与二维连续型随机变量的分布函数具体算法。这就相当于给出了计算分布函数的范例。

             分布函数定义的要点是两条。

            （1）定义显示了二维随机向量（X，Y）的“虚拟性”，及“随机向量意在交”。

            （2）P（X≤x ，Y≤y）表示分布在左下四分之一平面上的全部概率质量。

              对二维随机变量背景下的一维随机变量 Z = f (X，Y) ，大学数学教材上也有计算分布函数及概率密度的问题。

              对于二维离散型随机向量（X，Y），列出联合分布表后，用“穷尽法”计算。 对于二维离散型随机向量（X，Y）， 则是标则准的“分布函数法”。

              要注意的是，大学数学教材上，只是对二维离散型随机变量及二维连续型随机变量分别定义了条件分布。

              处理“边沿分布”，及一维随机变量 Z = f (X，Y)的计算问题 ，前提都是，“站在二维随机变量（X，Y）的背景下”。

             “站在二维随机变量（X，Y）背景下”，其要点是先“配对（x ，y）”再考虑相应计算问题。

              考研数学题常常会有一些“擦边球”。 在混合型二维随机变量（X，Y）的背景下计算或讨论一维随机变量 Z = f (X，Y)的问题，就是偏离教材及考试大纲很远的“擦边球”。

               无论是什么样的“擦边球”，基本思路应该是按分布函数的定义，“随机向量意在交”，进行相关计算。

               例1。设随机变量X，Y相互独立，其中X的分布列为P（X = 1）= 0.3，P（X = 2）= 0.7 ，而Y的概率密度为f（y），求随机变量U = X + Y的概率密度g (u)

              分析“站在二维随机变量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配对是

                                （1，y），（2，y） ，– ∞ < y < + ∞ ，即两条竖直线。

              记 G（u）为随机变量U = X + Y的分布函数 ，则任给一点u

                          G（u）= P（U≤u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2）

              请住意，这里按照分布函数的定义，P（U≤u）是分布左下半平面x + y ≤u的全部“配对（x ，y）”相应的概率。

             “随机向量意在交”，已知随机变量X，Y相互独立，故

                                 G（u）= P（X + Y≤u）= P（X = 1，Y≤u–1）+ P（X = 2，Y≤u–2）

                                            = P（X = 1）P(Y≤u–1) + P(X = 2) P(Y≤u–2）

                                               =    0.3 FY(u–1）+ 0.7 FY (u–2）

                求导得     g (u) = 0.3 f (u–1）+ 0.7 f (u–2）

               例2  设随机变量X，Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P（Y = 0）= P（Y = 1）= 1/2 ，记 G（z）为随机变量Z = XY的分布函数，则G（z）的间断点个数为 ？

               分析  由离散型随机随机变量X的图形特征可以想到  ，如果混合型随机变量X的数学模型中含有“概率质点x0”   ，即P (X = x0) = p > 0，则x0必定是其分布函数的跳跃间断点。

              “站在二维随机变量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配对是

                            （x，0），（x，1） ，– ∞ < y < + ∞ ，即两条水平线

                 显然，对于所有（x，0），– ∞ < y < + ∞ ，及（0，1）都有Z = XY= 0 ，故

                               P（Z = XY= 0）= P（0，– ∞ < y < + ∞）+ P（X= 0，Y=1）

其中，应该说 P（0 ，– ∞ < y < + ∞） 来自于“定积分微元分析法”与无穷积分收敛的定义。

                 “随机向量意在交”，已知随机变量X，Y相互独立，故P（Z = 0）= 1/2

                 在其它点（x，1）处，Z = XY= x  ，再没有别的“概率质点”。

                随机变量Z = XY的分布函数 G（z）只有一个跳跃间断点z 0 = 0

                例3  设随机变量X，Y相互独立，X ~ B（1，1/2），Y ~ [0，，记Z = X + Y，试求Z的分布函数及概率密度。

               分析 “站在二维随机变量（X，Y）背景下”看，（X，Y）的有效配对是

                                        （0，y），（1，y） ，0 ≤ y ≤1  ， 即两条竖直线段。

                记 G（z）为随机变量Z = X + Y的分布函数 ，则任给一点z

               简单作图即可看出，z < 0时 ，G（z）= 0 ，  而 z ≥ 2时 ，G（z）= 1

                                 0≤ z < 1时 ，G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤z）

              “随机向量意在交”，已知随机变量X，Y相互独立，故

                                                       G（z）= P（X = 0，0≤Y≤z）= z / 2

                  1≤ z < 2时 ，左下半平面 x + y ≤z含（0，y），0 ≤ y ≤1  ，及另一线段部分

                                                  G（z）= P（X + Y≤z）= P（X = 0，0≤Y≤1）+ P（X = 1，0≤Y≤ z–1）

                                                             =1 / 2 +（ z–1）/ 2 = z / 2

                   求导得密度函数g（z）

                                                     z < 0 或 z > 2时 ，g（z）= 0    ，  1≤ z ≤ 2时 ，g（z）= 1/ 2

                 即  Z = X + Y 服从 [0，2] 上的均匀分布。

                 按照教材现有定义与规范算法计算，这应该是打“擦边球”的本意。

不懂自然数

支持老师！

死神ing

技术贴要顶

wallace1987

老师辛苦了！{:soso_e163:}

fll514

好贴，M