2012年考研数学真题评论（个人版、数一更新完毕）

雷西儿

不出意外的话，今年应该是我以学生身份点评试题的最后一年了，从07年研二开始，到今年马上博士毕业，几年期间一直兼职和考研数学辅导相关的工作，个人感觉还是在这当中得到了很多锻炼和积累了不少经验，也形成了每年真题出来后都尝试用自己的方式来做一番解读这个习惯。写这个的目的主要还是想给后来者提供一些参考，至于效果好坏与否，各位看官见仁见智，总之交流讨论为主，经历过考研的人，总是会有一份热情，无论多久、多远，只要回到这个话题上，那就一定乐于把自己的心得体会与走过或即将走上这条路的人分享，而我，自然也不会例外。

先从数一开始，因为三个数学类别，题目还是挺多，故此贴不断更新中。

数一：

选择题：

1、判断渐近线的情况。不算新颖的考点，05年真题、07年真题都考过渐近线，而此题难度还低于07年的同类选择题。首先判断垂直渐近线，只有x=1处（因为-1处实际上是可去间断点），那么垂直渐近线一条；其次斜渐近线或水平渐近线，最多有两条，关键就在于看该题给出的函数除以x以后趋向于正负无穷时是否极限相同了，算出来结果相同，均为0，意味着只有一条水平渐近线，答案C。而07年的同类题难就难在一条水平渐近线一条斜渐近线，而这可能会被部分考生忽略，总的来说此题算中等题。

2、求导数。题目给的函数是一个用指数函数构造出来的连乘积，由于n项相乘，求一次导后一共是n项之和，初略一想可能计算任务比较重，但注意到只要是含有e^x-1的项，当x=0时均为0，结果瞬间简化为只剩第一项，具体是(1-2)*(1-3)*……*(1-n)，那么这其中一共有n-1个负号可提，一共是n-1项相乘，所以答案为(-1)^(n-1)*(n-1)!，选A。中等题。

3、二元函数可微的概念。个人觉得此题有一定难度，毕竟多元函数的几个基本概念里，可微算是最复杂的，一个函数是否可微，也就是要可确定：其增量能写成一个线性主要部分和高阶无穷小部分，那么四个选项的判断，就由这个概念的把握来进行。C和D类似，如果是确定可微，那就可以把f(x,y)写成f(0,0)+k*x+l*y+高阶无穷小，代入分子来考察。而且由于分母趋于0，f(0,0)肯定要考虑成0，否则有一部分无穷大，极限就不能保证存在，但即使这样，剩下的k*x+l*y+高阶无穷小比上分母，通过把分母变形为sqrt(x^2+y^2)，然后再对附加的sqrt(x^2+y^2)/(abs(x)+abs(y))或者sqrt(x^2+y^2)/(x^2+y^2)进行考察，较容易断定，极限的情况复杂，无法确保一定存在，于是初步排除C、D项。然后是A和B，如果已知极限存在，由于分母趋于0，则分子必趋于0，由此可知函数在（0,0）点处极限为0，又由于连续，则函数值等于极限值，也就是f(0,0)=0，接下来就可以把已知的极限形式中的分子改写成f(x,y)-f(0,0)，进而改写成f(x,y)-f(0,0)-0*(x-0)-0*(y-0)，这就是函数增量减去其线性部分，无非是这里认为偏导数值均取特殊的0而已，同时变形成sqrt(x^2+y^2)，这样就凑成了可微的判断式D1，如果这个极限等于0的话，即可确定可微。剩下的区别就在于，多出来的部分sqrt(x^2+y^2)/(abs(x)+abs(y))或者sqrt(x^2+y^2)/(x^2+y^2)，这里记为D2，哪一项可在已知D1*D2极限存在情况下可推出D1极限必须为0？毫无疑问是后者，因为对于A选项来说，其中D2极限不存在，与路径选择有关，但非无穷大，如果D1部分合适的，可能正好抵消这种效果，使得整个极限存在；但对B选项来说，D2部分极限无穷大，要整个极限存在，只能D1部分极限为0，这正是可微的定义。

4、积分上限求导。可将I看做是参数k的函数，那么对k求导，即为pi*e^((k*pi)^2)sin(k*pi)，当k=1、2、3时导数为0，在k属于（0，1）、（1，2）、（2，3）时刻分别判断其值，然后判断函数增减性。但这里还有一种定性的方法，注意到e^(x*x)为单增函数，那么作为sinx的振幅部分，是越来越大的，而sinx本身是周期性变化，那么可以想象，第一个(0, pi)区间为正、第二个（pi, 2*pi）区间为负，第三个（2*pi, 3*pi）区间又为正，但其与x轴所围成面积一直在增大，因为振幅是不断增大的，那么I1是第一块正的面积，I2是第一块正的加上第二块更大的负的，总体为负，最小，I3是第一块正的基础上加一个第三块大的正的，减去第二块稍小的负的，于是结果比I1还是大一些，故确定答案为D。中等偏难题。

5、判断向量组的线性相关性。此题特点是四个列向量中最后一个维度的数值均为未定参数，以增加难度，但实际上仍可迅速用行列式判断，注意a1形式最为简单，故可先判断含有a1到选项，马上可发现C选项的a1、a3、a4构成的行列式为0，线性相关。简单题。

6、初等矩阵的概念，同时还是以特征值特征向量的形式出题。由于Q是P经过一次初等列变换得来，可将其写为P右乘一个初等矩阵的形式，剩下的就是代入要判断的Q逆*A*Q了，经过几步计算迅速得结果，选B。中等题。

7、二维随机变量的概念。要求的是一个二维随机变量对应的事件概率，那么相应的是要求对应几何区域上的二重积分，由于已知两变量相互独立，于是可写出联合概率密度，剩下的就是二重积分计算的基本功了。当然，还得记得指数分布的概率密度表达式，答案A。中等题。

8、相关系数的概念。由于X和Y恒满足x+y=1，故其成负线性相关，答案D。简单题。

综合来看，今年数一选择题难度中规中矩，两道简单题，一道难题，五道中等题。还是延续这选择部分重在考查基本概念的路线，其中涉及到的计算都不太复杂。

填空题：

9、二阶微分方程的基本概念。特征方程为r^2+r-2=0，解出两个根一个为-2，一个1，确定齐次通解C1*e^(-2x)+C2*e^x，再由另一个条件确定积分常数即可。简单题。

10、定积分计算。考虑到根号内部可以配方，根号外又有个x项，暗示是可以用凑微分法，实际上只要把根号内配成完全平方加常数后，就可以在外面加一个合适的数，这部分即可凑出微分，多出来的部分即是sqrt((x+a)^2+b^2)型积分，可用换元解决。中等题。

11、梯度的概念。按梯度定义进行计算即可，简单题。

12、第一类曲面积分计算。首先判断积分区域，是一个正八面体在第一挂限内的部分，由于具有关于x、y、z的轮换对称性，本来想到可能将y^2换成x^2和z^2，然后相加，但积分区域不是球面而是平面，故此法无效，只能往投影的方向考虑，好在投影到x0y平面，涉及到的z对x，对y的偏导都非常简单，代入积分式后转化为一个三角形区域的二重积分，可算得答案。中等题。

13、特征值特征向量概念。E是三阶单位向量，故特征值1、1、1，又知道一个向量和其转置相乘，生成的矩阵秩为1，特征值为0和其主对角线上的元素，故x和x转置生成的矩阵特征值为0、0、1，由于要判断的矩阵实对称，必可对角化，于是其秩等于非零特征值个数，为2。简单题。其中有一个向量及其转置相乘得到的矩阵，其特征值特征向量的情况，为经典题目类型，之前的真题也有过考察，所以不算陌生的难点。

14、条件概率的概念。直接按条件概率的定义计算，其中主要是考虑分子P(ABC补)=P(AB)-P(ABC)，由于A、C互不相容，那么AC相交概率必为0，再交个B也一样，于是得出结果。此题主要是利用互斥的概念，还有就是可作相关的思维发散，在计算概率过程中，哪些事件的关系不能等同于相应的概率关系，哪些可以，平时只要对这部分有所积累，分数应该不会丢。中等题。

个人意见，今年的数一填空题，难度中等偏下，勉强可以算略为简单的一年，其中没有设计需要过多巧解和技巧性思路的题目，基本上是与概念相关的运算考察，且绕弯不多。

解答题：

15、不等式的证明。考研数学中，高数部分的证明题，目前来看大致有如下几类：数列收敛性的证明、不等式、中值定理证明、课本定理的证明。其中08、09连续两年考的课本定理，10、11连续两年考数列收敛证明，而不等式和中值定理在其它年份也都时常出现。具体到不等式证明这一考点，我考前就给学生强调过，不等式的题目，可以出得很难，但是在考研数学的范畴里，只考查用导数作为工具来证明不等式的能力。为什么？因为考研数学是考微积分，换言之就是考你学习了微积分中的知识后用这些知识来解决问题的能力。故考研数学中的不等式证明，必然是围绕使用导数判断的方法来出题，这一点不用有疑问。回到题目本身，首先不难看出对称性，要考察的F(x)为偶函数，故问题转化为在（0, 1）上讨论，然后F(0)=0成立，接下来就是写出F'(x)的表达式了，这里有个小的变形技巧，即把出现的2x/(1-x^2)-x通分合并，变形为(1+x^2)/(1-x^2)，在(0, 1)区间内，这部分恒大于1，也就恒大于sinx，故F'(x)的符号也就判断清楚了。退一步说，即使没注意到有这个化简，也可再次求导，用二阶导来验证。到这里以后其它方面应该就没问题了，中等题。

16、求极值。感觉这道题和上一题的涉及知识点有点重了，尽管是用多元微分，但方法和套路上还是差不多。极值问题和最值问题，这里也可一并讨论，这类题目，都需要利用偏导求驻点，但之后的思路不一样，最值的话，无需求二阶导验证是极大还是极小，因为只需要找其中最大或最小的就行了，那通常会在函数上设置的复杂一些，可能还要分类讨论；极值的话，通常要考察的函数形式不太复杂，但需要求二阶导，计算任务更重一些。像此题，所给函数定义域为全平面，故直接求偏导即可，找出所有偏导为0的点。由于偏f/偏y=0的判断较为简单，所有x=0的点或者所有y=0的点，于是分这两种可能来讨论进一步的偏f/偏x=0的点，当x=0时，能使偏f/偏x=0成立的点不存在，当y=0时，则有x=1和-1两个点，于是驻点为：（1、0）和（-1、0），接下来再求出二阶导在此两点的值即可。总的来说计算并不复杂，只是讨论是需要思路清楚以免混乱，中等题。

17、幂级数的和函数。也是典型的大题考点，幂级数的求和或展开，一个问题的两个方面，年年必考内容，没有悬念。故这一块是必须要掌握的内容，回到此题本身，x^2n前面的分式一定程度提升了难度，需要对分子进行配方，然后可分解为两部分求和。第一部分直接就是求x^2n的和，无难度；第二部分由于有个分母2n+1，必然是乘个x除个x，凑出x^(2n+1)，然后逐项求导再逐项积分回来即可。接下来要注意的细节有二：一是由于涉及到用x做除数了，故之后的结果都是在x不等于0的前提下得到的，也就是求出这种情况的和函数后，还需要讨论x=0的时候和函数的值，这个简单，直接令原来的级数中的x为0，看值是多少，然后和x不等于零的结果写在一起，如果恰好连续，还可以合并，但这个过程不可忽略；二是在逐项积分回来时，注意应该是f(x)-f(0)，因为我们通常是从0积到x的，只是很多题目的f(0)=0，就都省略了，但有些题目未必，这是可能会遭遇的陷阱，其它则应该都是正常的计算过程，注意避免出错就差不多了。最后别忘了求出收敛半径，还有判断两个端点处的敛散性。个人感觉此题有较多细节容易被考生忽视，且计算任务也并不太轻松，算中等偏难题。

18、一元微积分的几何应用。以参数方程给出的函数形式，首先求t=t0时的切线斜率，也就是导数k0，然后写出t=t0时曲线的切线方程为：y-y0=k0(x-x0)，然后当y=0时可解出此时x的取值，即切线与x轴交点与原点距离，用x0减去它，就是切线与x轴交点到切点的距离的一个分量，另一个分量为y0，均代入t0后，表达式即为一与f(t0)、f'(t0)有关的微分方程。此方程形式并不复杂，是f'(t0)=sint0/ctgt0，直接积分即可，然后由初条件定出积分常数。之后再用定积分求要求的图形面积。中等题。

19、曲线曲面积分。也是数一的必考大题点之一，这次是考的第二类曲线积分，一般用格林公式或投影或转化为第一类曲线积分，但具体用哪种方法要根据题目条件来分析确定。首先确定积分区域是两条曲线，先是小圆的半圆，再是大圆的四分之一圆弧，再加一段y轴上的直线段即构成封闭路径，且整个区域在积分路径的左手边，为正，有很大可能是补线用格林公式。于是L上的积分等于L+L'-L'的积分，其中L'为（0, 2）到（0, 0）的线段，计算L+L'用格林公式，惊喜的发现被积函数为1，那二重积分也不用求了，直接是大四分之一圆和小半圆的面积之差，至于另外的L'的积分，基本属于送分，只要注意方向就是，不消再多说。个人界定此题算中等题。

总的来看，今年数一的解答题，高数部分难度还是适中，没有出现较简单的求极限的题目，五道大题的综合性都比较强，且由于高数部分考点多，出题较为灵活，比如今年二重积分、中值定理证明等也都没出大题，故高数部分还是整个数一复习中任务最重的。

20、线性方程组的解的情况。线代典型大题之一，第一问求行列式，直接按第一列展开，算两个简单的三阶行列式即可，送分题。第二问要做初等行变换，还是以第一行作为基准，把二、三、四行分别减去合适的第一行的倍数，化为阶梯型，然后可展开讨论。主要要非齐次方程组有无穷多解的条件：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于未知数的个数。把握好这个后注意分类就行了，根据a的可能取值，不要遗漏不要重复。剩下的求解过程，也是线代学习过程中最基本的训练内容之一，确定自由未知量，移项，写基础解系，结束。简单题。

21、特征值特征向量及二次型。线代典型大题之二，注意A为四行三列，那么A'为三行四列，于是A'A是三行三列，并且实对称，必可正交对角化。接下来确定a，由于三阶矩阵秩为2，那么只要选择合适的a，使其为非满秩矩阵即可，用求行列式或者初等变换等方法都可以，解得a=-1。然后求正交变换的过程，应该是线代学习过程中最基本的另一个训练内容，如何从一个实对称矩阵出发将其正交变换为一个对角矩阵：求特征值、求特征向量、特征向量正交化单位化（此题三个特征值不同，无需正交化）、写出对应的变换矩阵，这个过程应该是考前练习过无数次的内容，当然需要注意可能的计算错误。中等题。

22、概率和事件的基本概念，数字特征的考察。这是概率考题中比较典型的一类，设计一些离散型的随机变量，要求考生根据对具体事件的分析，来计算要求的概率分布，然后在此基础上还有些后续计算。这里的第一问，分析事件X=2Y的等价事件，实际上就两种可能，X=0、Y=0和X=2、Y=1，求出这两个事件的概率，然后相加即可。第二问要求协方差系数，先分解，转化为求（X, Y）和（X, X）的协方差，按定义，前一部分直接根据已知条件可算出，而后一部分是Y的方差，也不难，因为二维联合分布已知，求出相应的边缘分布，再按定义即可，最后两两相减得答案。此题的难度明显低于另一类概率典型题：根据X, Y的联合概率密度求两者组合的Z的概率密度，故算简单题。

23、参数估计。概率考题中的典型大题，但近几年的趋势是只有数一才考了，原因大概是数三削弱了这一部分的考察要求。这类题目解题程序比较套路化，原理上理解清楚点估计和似然估计的思想即可。第一问由于已知两正态分布相互独立，故相减后还是正态分布，直接求其均值方差即可。第二问求最大似然估计，似然还是还是把n个f(z)相乘，取对数正好把连乘变连加，再求偏导，其中并不涉及很复杂的计算步骤，按部就班可得出答案。第三问证明无偏性，则是对第二问的结果求期望，由于是证明而非判断，故难度也有所降低，本身式子不复杂，再稍微凑一凑即可完成证明过程。中等题。

终上所述，今年的线代和概率大题，难度算中等偏简单，数一试卷还是延续了高数部分相对难于线代概率的特点，但个人以为今年整个数一的大题未出现拉开高分考生和中等考生的难题。在题目设计上也不算新颖，就拿去年那道要两次分部积分的二重积分题来做对比，那就是此前真题中未出现，能对考生基本功和应变能力同时起到考察的题目，想到了就比较简单，想不到就基本无法解答，今年的数一试卷中，缺少一两道这类设置精巧的题目。

zpf34

坐等看数三

avaible

楼主真的好强啊！！总的算下来我就错了第三道选择题而已，有希望上120，太感谢了！！！

woshishenmaa

等数三分析

kaoyan406

选择题第5题明显题意不清，因为四个选项行列式都可能为0.

janxuejun

雷西儿 真是热心的人啊 年年都解读

mimaitian

坐等大题

阿芙洛狄忒

注册时间……强大

cszj3318

坐等数学二大题目(*^__^*) 嘻嘻……

雷西儿

嗯 数一更新完毕 过两天写数三和数二