关于矩阵AB的秩 与 矩阵B可逆的关系

elei_tony

各位大大 小弟有一事不明如下 已知条件：A B 都是n*n矩阵 A中列向量线性无关如果矩阵B可逆 我们可以推出 r(AB)=r(A), 可是我不知道矩阵B可逆是不是r(AB)=r(A)的必要条件
我的个人看法是 必要条件是成立的 如果B不可逆 那么B中的列向量必然线性相关 从而由r(AB)<=min (r(A),r(B))<n 得出r(AB)不等于r(A) 不知道我的想法对不对 请各位高手不吝赐教

xiaozhoutiancai

是的啊 b的确是可逆的，因为你题目前面已经规定了a,b都是n*n的则你的推论是对的
其实还有更强的条件 若a为列满矩阵则r(ab)=r(b)
                                  若b为行满秩矩阵则r(ab)=r(b)（教材上有证明）

elei_tony

xiaozhoutiancai 发表于 2011-12-11 17:12
是的啊 b的确是可逆的，因为你题目前面已经规定了a,b都是n*n的则你的推论是对的
其实还有更强的条件 若a为 ...

非常感谢啊 {:soso_e100:}我回去再试着证明下你补充的结论